已知二次函数 $y = g(x)$ 的导函数的图象与直线 $y = 2x$ 平行，且 $y = g(x)$ 在 $x = -1$ 处取得极小值 $m - 1$（$m \neq 0$）. 设 $f(x) = \frac{g(x)}{x}$.

(1) 若曲线 $y = f(x)$ 上的点 $P$ 到点 $Q(0, 2)$ 的距离的最小值为 $\sqrt{2}$，求 $m$ 的值； (2) $k$（$k \in \mathbf{R}$）如何取值时，函数 $y = f(x) - kx$ 存在零点，并求出零点.

已知曲线 $C: y = x^2$ 与直线 $l: x - y + 2 = 0$ 交于两点 $A(x_A, y_A)$ 和 $B(x_B, y_B)$，且 $x_A < x_B$. 记曲线 $C$ 在点 $A$ 和点 $B$ 之间那一段 $L$ 与线段 $AB$ 所围成的平面区域（含边界）为 $D$. 设点 $P(s, t)$ 是 $L$ 上的任一点，且点 $P$ 与点 $A$ 和点 $B$ 均不重合.

(1) 若点 $Q$ 是线段 $AB$ 的中点，试求线段 $PQ$ 的中点 $M$ 的轨迹方程； (2) 若曲线 $G: x^{2} - 2ax + y^{2} - 4y + a^{2} + \frac{51}{25} = 0$ 与 $D$ 有公共点，试求 $a$ 的最小值.

已知曲线 $C_n: x^2 - 2nx + y^2 = 0$（$n = 1$，$2$，$\cdots$）. 从点 $P(-1,0)$ 向曲线 $C_n$ 引斜率为 $k_n$（$k_n > 0$）的切线 $l_n$，切点为 $P_n(x_n, y_n)$.

(1) 求数列 $\{x_n\}$ 与 $\{y_n\}$ 的通项公式； (2) 证明：$x_1 \cdot x_3 \cdot x_5 \cdot \cdots \cdot x_{2n-1} < \sqrt{\frac{1 - x_n}{1 + x_n}} < \sqrt2\sin \frac{x_n}{y_n}$.