如图，已知椭圆 $C_1$ 与 $C_2$ 的中心在坐标原点 $O$，长轴均为 $MN$ 且在 $x$ 轴上，短轴长分别为 $2m$，$2n$（$m>n$），过原点且不与 $x$ 轴重合的直线 $l$ 与 $C_1$，$C_2$ 的四个交点按纵坐标从大到小依次为 $A$，$B$，$C$，$D$，记 $\lambda=\frac{m}{n}$，$\triangle BDM$ 和 $\triangle ABN$ 的面积分别为 $S_1$ 和 $S_2$.

(1) 当直线 $l$ 与 $y$ 轴重合时，若 $S_1=\lambda S_2$，求 $\lambda$ 的值； (2) 当 $\lambda$ 变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线 $l$，使得 $S_1=\lambda S_2$？并说明理由.