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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知全集 U={1,2,3,4,5}U = \{1, 2, 3, 4, 5\}，集合 A={1,2}A = \{1, 2\}，B={2,3,4}B = \{2, 3, 4\}，则 B∩∁UA=B \cap \complement_U A =（ ）
A.
{2}\{2\}
B.
{3,4}\{3,4\}
C.
{1,4,5}\{1, 4, 5\}
D.
{2,3,4,5}\{2, 3, 4, 5\}

2013 · 湖北 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02解析几何★★☆☆☆
已知 0<θ<π40 < \theta < \frac{\pi}{4}，则双曲线 C1:x2sin⁡2θ−y2cos⁡2θ=1C_{1}: \frac{x^{2}}{\sin^{2}\theta} - \frac{y^{2}}{\cos^{2}\theta} = 1 与 C2:y2cos⁡2θ−x2sin⁡2θ=1C_{2}: \frac{y^{2}}{\cos^{2}\theta} - \frac{x^{2}}{\sin^{2}\theta} = 1 的（ ）
A.
实轴长相等
B.
虚轴长相等
C.
离心率相等
D.
焦距相等

2013 · 湖北 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03集合与逻辑基础★☆☆☆☆
在一次跳伞训练中，甲，乙两位学员各跳一次. 设命题 pp 是“甲降落点在指定范围”，qq 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ）
A.
(¬p)∨(¬q)(\neg p)\vee(\neg q)
B.
p∨(¬q)p\vee(\neg q)
C.
(¬p)∧(¬q)(\neg p)\wedge(\neg q)
D.
p∨qp\vee q

2013 · 湖北 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04概率与统计★☆☆☆☆
四名同学根据各自的样本数据研究变量 xx，yy 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：
① yy 与 xx 负相关且 y^=2.347x−6.423\hat{y}=2.347x-6.423； ② yy 与 xx 负相关且 y^=−3.476x+5.648\hat{y}=-3.476x+5.648； ③ yy 与 xx 正相关且 y^=5.437x+8.493\hat{y}=5.437x+8.493； ④ yy 与 xx 正相关且 y^=−4.326x−4.578\hat{y}=-4.326x-4.578.
其中一定不正确的结论的序号是（ ）
A.
①②
B.
②③
C.
③④
D.
①④

2013 · 湖北 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05函数与初等函数★☆☆☆☆
小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是（ ）
A.
B.
C.
D.

2013 · 湖北 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06三角函数★★☆☆☆
将函数 y=3cos⁡x+sin⁡xy=\sqrt{3}\cos x+\sin x（x∈Rx\in\mathbf{R}）的图象向左平移 mm（m>0m>0）个单位长度后，所得到的图象关于 yy 轴对称，则 mm 的最小值是（ ）
A.
π12\frac{\pi}{12}
B.
π6\frac{\pi}{6}
C.
π3\frac{\pi}{3}
D.
5π6\frac{5\pi}{6}

2013 · 湖北 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07平面向量★★☆☆☆
已知点 A(−1,1)A(-1,1)，B(1,2)B(1,2)，C(−2,−1)C(-2,-1)，D(3,4)D(3,4)，则向量 AB→\overrightarrow{AB} 在 CD→\overrightarrow{CD} 方向上的投影为（ ）
A.
322\frac{3\sqrt{2}}{2}
B.
3152\frac{3\sqrt{15}}{2}
C.
−322-\frac{3\sqrt{2}}{2}
D.
−3152-\frac{3\sqrt{15}}{2}

2013 · 湖北 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★☆☆☆
xx 为实数， [x][x] 表示不超过 xx 的最大整数，则函数 f(x)=x−[x]f(x) = x - [x] 在 R\mathbf{R} 上为（ ）
A.
奇函数
B.
偶函数
C.
增函数
D.
周期函数

2013 · 湖北 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09导数及其应用★★★★☆
某旅行社租用 AA，BB 两种型号的客车安排 900 名客人旅行，AA，BB 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人，租金分别为 1600 元/辆和 2400 元/辆. 旅行社要求租车总数不超过 21 辆，且 BB 型车不多于 AA 型车 7 辆，则租金最少为（ ）
A.
31200 元
B.
36000 元
C.
36800 元
D.
38400 元

2013 · 湖北 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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10导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=x(ln⁡x−ax)f(x) = x (\ln x - ax) 有两个极值点，则实数 aa 的取值范围是（ ）
A.
(−∞,0)(-\infty,0)
B.
(0,12)\left(0,\frac{1}{2}\right)
C.
(0,1)(0,1)
D.
(0,+∞)(0,+\infty)

2013 · 湖北 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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11复数★☆☆☆☆
i\mathrm{i} 为虚数单位，设复数 z1z_1，z2z_2 在复平面内对应的点关于原点对称，若 z1=2−3iz_1=2-3\mathrm{i}，则 z2=z_2=______.

2013 · 湖北 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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12概率与统计★☆☆☆☆
某学员在一次射击测试中射靶 10 次，命中环数如下：77，88，77，99，55，44，99，1010，77，44. 则
(1) 平均命中环数为______； (2) 命中环数的标准差为______.

2013 · 湖北 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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13函数与初等函数★★☆☆☆
阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入 mm 的值为 22，则输出的结果 i=i=______.

2013 · 湖北 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14解析几何★★☆☆☆
已知圆 O:x2+y2=5O: x^{2} + y^{2} = 5，直线 l:xcos⁡θ+ysin⁡θ=1l: x \cos \theta + y \sin \theta = 1（0<θ<π20 < \theta < \frac{\pi}{2}）. 设圆 OO 上到直线 ll 的距离等于 1 的点的个数为 kk，则 k=k =______.

2013 · 湖北 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15概率与统计★★☆☆☆
在区间 [−2,4][-2, 4] 上随机地取一个数 xx，若 xx 满足 ∣x∣⩽m|x| \leqslant m 的概率为 56\frac{5}{6}，则 m=m =______.

2013 · 湖北 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16立体几何初步★★☆☆☆
我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是______寸\text{寸}.
注：
① 平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积； ② 一尺等于十寸.

2013 · 湖北 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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17计数原理与组合数学★★★☆☆
在平面直角坐标系中，若点 P(x,y)P(x,y) 的坐标 xx，yy 均为整数，则称点 PP 为格点，若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形，格点多边形的面积为 SS，其内部的格点数记为 NN，边界上的格点数记为 LL. 例如图中 △ABC\triangle ABC 是格点三角形，对应的 S=1S=1，N=0N=0，L=4L=4.
(1) 图中格点四边形 DEFGDEFG 对应的 SS，NN，LL 分别是______； (2) 已知格点多边形的面积可表示为 S=aN+bL+cS=aN+bL+c，其中 aa，bb，cc 为常数. 若某格点多边形对应的 N=71N=71，L=18L=18，则 S=S=______. （用数值作答）

2013 · 湖北 · 文 · 第 17 题 · 填空题

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18三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 对应的边分别是 aa，bb，cc，已知 cos⁡2A−3cos⁡(B+C)=1\cos 2A-3\cos(B+C)=1.
(1) 求角 AA 的大小； (2) 若 △ABC\triangle ABC 的面积 S=53S=5\sqrt{3}，b=5b=5，求 sin⁡Bsin⁡C\sin B\sin C 的值.

2013 · 湖北 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19数列★★★☆☆
已知 SnS_n 是等比数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，S4S_4，S2S_2，S3S_3 成等差数列，且 a2+a3+a4=−18a_2+a_3+a_4=-18.
(1) 求数列 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 是否存在正整数 nn，使得 Sn⩾2013S_n\geqslant 2013？若存在，求出符合条件的所有 nn 的集合；若不存在，说明理由.

2013 · 湖北 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20立体几何初步★★★★☆
如图，某地质队自水平地面 AA，BB，CC 三处垂直向地下钻探，自 AA 点向下钻到 A1A_1 处发现矿藏，再继续下钻到 A2A_2 处后下面已无矿，从而得到在 AA 处正下方的矿层厚度为 A1A2=d1A_1A_2=d_1，同样可得在 BB，CC 处正下方的矿层厚度分别为 B1B2=d2B_1B_2=d_2，C1C2=d3C_1C_2=d_3，且 d1<d2<d3d_1<d_2<d_3，过 ABAB，ACAC 的中点 MM，NN 且与直线 AA2AA_2 平行的平面截多面体 A1B1C1−A2B2C2A_1B_1C_1-A_2B_2C_2 所得的截面 DEFGDEFG 为该多面体的一个中截面，其面积记为 S中S_{\text{中}}.
(1) 证明：中截面 DEFGDEFG 是梯形； (2) 在 △ABC\triangle ABC 中，记 BC=aBC=a，BCBC 边上的高为 hh，面积为 SS. 在估测三角形 ABCABC 区域内正下方的矿藏储量（即多面体 A1B1C1−A2B2C2A_1B_1C_1-A_2B_2C_2 的体积 VV）时，可用近似公式 V估=S中⋅hV_{\text{估}}=S_{\text{中}}\cdot h 来估算. 已知 V=13(d1+d2+d3)SV=\frac{1}{3}(d_1+d_2+d_3)S，试判断 V估V_{\text{估}} 与 VV 的大小关系，并加以证明.

2013 · 湖北 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
设 a>0a>0，b>0b>0，已知函数 f(x)=ax+bx+1f(x)=\frac{ax+b}{x+1}.
(1) 当 a≠ba\neq b 时，讨论函数 f(x)f(x) 的单调性； (2) 当 x>0x>0 时，称 f(x)f(x) 为 aa，bb 关于 xx 的加权平均数.
(i) 判断 f(1)f(1)，f(ba)f\left(\sqrt{\frac{b}{a}}\right)，f(ba)f\left(\frac{b}{a}\right) 是否成等比数列，并证明 f(ba)⩽f(ba)f\left(\frac{b}{a}\right)\leqslant f\left(\sqrt{\frac{b}{a}}\right)； (ii) aa，bb 的几何平均数记为 GG，称 2aba+b\frac{2ab}{a+b} 为 aa，bb 的调和平均数，记为 HH，若 H⩽f(x)⩽GH\leqslant f(x)\leqslant G，求 xx 的取值范围.

2013 · 湖北 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
如图，已知椭圆 C1C_1 与 C2C_2 的中心在坐标原点 OO，长轴均为 MNMN 且在 xx 轴上，短轴长分别为 2m2m，2n2n（m>nm>n），过原点且不与 xx 轴重合的直线 ll 与 C1C_1，C2C_2 的四个交点按纵坐标从大到小依次为 AA，BB，CC，DD，记 λ=mn\lambda=\frac{m}{n}，△BDM\triangle BDM 和 △ABN\triangle ABN 的面积分别为 S1S_1 和 S2S_2.
(1) 当直线 ll 与 yy 轴重合时，若 S1=λS2S_1=\lambda S_2，求 λ\lambda 的值； (2) 当 λ\lambda 变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线 ll，使得 S1=λS2S_1=\lambda S_2？并说明理由.

2013 · 湖北 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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