已知函数 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的奇函数，当 $x \geqslant 0$ 时，$f(x) = \frac{1}{2} (|x - a^2| + |x - 2a^2| - 3a^2)$. 若 $\forall x \in \mathbf{R}$，$f(x - 1) \leqslant f(x)$，则实数 $a$ 的取值范围为（ ）

$\pi$ 为圆周率，$\mathrm{e} = 2.71828\cdots$ 为自然对数的底数.

(1) 求函数 $f(x) = \frac{\ln x}{x}$ 的单调区间； (2) 求 $\mathrm{e}^{3}$，$3^{\mathrm{e}}$，$\mathrm{e}^{\pi}$，$\pi^{\mathrm{e}}$，$3^{\pi}$，$\pi^{3}$ 这 6 个数中的最大数与最小数； (3) 将 $\mathrm{e}^{3}$，$3^{\mathrm{e}}$，$\mathrm{e}^{\pi}$，$\pi^{\mathrm{e}}$，$3^{\pi}$，$\pi^{3}$ 这 6 个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.