已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}-2x$.

(1) 讨论 $f(x)$ 的单调性； (2) 设 $g(x)=f(2x)-4bf(x)$，当 $x>0$ 时，$g(x)>0$，求 $b$ 的最大值； (3) 已知 $1.4142<\sqrt{2}<1.4143$，估计 $\ln 2$ 的近似值（精确到 $0.001$）.