设函数 $f(x) = \ln (x + a) + x^2$.

(1) 若当 $x = -1$ 时，$f(x)$ 取得极值，求 $a$ 的值，并讨论 $f(x)$ 的单调性； (2) 若 $f(x)$ 存在极值，求 $a$ 的取值范围，并证明所有极值之和大于 $\ln \frac{\mathrm{e}}{2}$.