设函数 $f(x)$ 定义在 $(0, +\infty)$ 上，$f(1) = 0$，导函数 $f'(x) = \frac{1}{x}$，$g(x) = f(x) + f'(x)$.

(1) 求 $g(x)$ 的单调区间和最小值； (2) 讨论 $g(x)$ 与 $g\left(\frac{1}{x}\right)$ 的大小关系； (3) 是否存在 $x_0 > 0$，使得 $|g(x) - g(x_0)| < \frac{1}{2}$ 对任意 $x > 0$ 成立？若存在，求出 $x_0$ 的取值范围；若不存在，请说明理由.