已知数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_1\in\mathbf{N}^*$，$a_1\leqslant 36$，且 （$n=1$，$2$，$\cdots$）. 记集合 $M=\{a_n\mid n\in\mathbf{N}^*\}$.

(1) 若 $a_1=6$，写出集合 $M$ 的所有元素； (2) 若集合 $M$ 存在一个元素是 $3$ 的倍数，证明：$M$ 的所有元素都是 $3$ 的倍数； (3) 求集合 $M$ 的元素个数的最大值.