已知椭圆 $C_1:\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的右顶点为 $A(1,0)$，过 $C_1$ 的焦点且垂直长轴的弦长为 $1$.

(1) 求椭圆 $C_1$ 的方程； (2) 设点 $P$ 在抛物线 $C_2:y=x^2+h$（$h\in\mathbf{R}$）上，$C_2$ 在点 $P$ 处的切线与 $C_1$ 交于点 $M$，$N$. 当线段 $AP$ 的中点与 $MN$ 的中点的横坐标相等时，求 $h$ 的最小值.

已知函数 $f(x)=x^3-(k^2-k+1)x^2+5x-2$，$g(x)=k^2x^2+kx+1$，其中 $k\in\mathbf{R}$.

(1) 设函数 $p(x)=f(x)+g(x)$. 若 $p(x)$ 在区间 $(0,3)$ 上不单调，求 $k$ 的取值范围； (2) 设函数 是否存在 $k$，对任意给定的非零实数 $x_1$，存在唯一的非零实数 $x_2$（$x_2\neq x_1$），使得 $q'(x_2)=q'(x_1)$ 成立？若存在，求 $k$ 的值；若不存在，请说明理由.