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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设 U=RU=\mathbf{R}，A={x∣x>0}A=\{x\mid x>0\}，B={x∣x>1}B=\{x\mid x>1\}，则 A∩∁UB=A\cap\complement_U B=（ ）
A.
{x∣0⩽x<1}\{x\mid 0\leqslant x<1\}
B.
{x∣0<x⩽1}\{x\mid 0<x\leqslant 1\}
C.
{x∣x<0}\{x\mid x<0\}
D.
{x∣x>1}\{x\mid x>1\}

2009 · 浙江 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02集合与逻辑基础★★☆☆☆
已知 aa，bb 是实数，则“a>0a>0 且 b>0b>0”是“a+b>0a+b>0 且 ab>0ab>0”的（ ）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2009 · 浙江 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03复数★☆☆☆☆
设 z=1+iz=1+\mathrm{i}（i\mathrm{i} 是虚数单位），则 2z+z2=\frac{2}{z}+z^2=（ ）
A.
−1−i-1-\mathrm{i}
B.
−1+i-1+\mathrm{i}
C.
1−i1-\mathrm{i}
D.
1+i1+\mathrm{i}

2009 · 浙江 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04计数原理与组合数学★★☆☆☆
在二项式 (x2−1x)5\left(x^2-\frac{1}{x}\right)^5 的展开式中，含 x4x^4 的项的系数是（ ）
A.
−10-10
B.
1010
C.
−5-5
D.
55

2009 · 浙江 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05立体几何初步★★☆☆☆
在三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点 DD 是侧面 BB1C1CBB_1C_1C 的中心，则 ADAD 与平面 BB1C1CBB_1C_1C 所成角的大小是（ ）
A.
30∘30^\circ
B.
45∘45^\circ
C.
60∘60^\circ
D.
90∘90^\circ

2009 · 浙江 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06指数函数与对数函数★★☆☆☆
某程序框图如图所示，该程序运行后输出的 kk 的值是（ ）
A.
44
B.
55
C.
66
D.
77

2009 · 浙江 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07平面向量★★★★☆
设向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足：∣a∣=3|\boldsymbol{a}|=3，∣b∣=4|\boldsymbol{b}|=4，a⋅b=0\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=0. 以 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，a−b\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b} 的模为边长构成三角形，则它的边与半径为 11 的圆的公共点个数最多为（ ）
A.
33
B.
44
C.
55
D.
66

2009 · 浙江 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08三角函数★★★★☆
已知 aa 是实数，则函数 f(x)=1+asin⁡axf(x)=1+a\sin ax 的图象不可能是（ ）
A.
B.
C.
D.

2009 · 浙江 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09解析几何★★★☆☆
过双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）的右顶点 AA 作斜率为 −1-1 的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 BB，CC. 若 AB→=12BC→\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}，则双曲线的离心率是（ ）
A.
2\sqrt{2}
B.
3\sqrt{3}
C.
5\sqrt{5}
D.
10\sqrt{10}

2009 · 浙江 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★★★☆
对于正实数 α\alpha，记 MαM_\alpha 为满足下述条件的函数 f(x)f(x) 构成的集合：∀x1\forall x_1，x2∈Rx_2\in\mathbf{R} 且 x2>x1x_2>x_1，有 −α(x2−x1)<f(x2)−f(x1)<α(x2−x1)-\alpha(x_2-x_1)<f(x_2)-f(x_1)<\alpha(x_2-x_1). 下列结论中正确的是（ ）
A.
若 f(x)∈Mα1,g(x)∈Mα2f(x)\in M_{\alpha_1}, g(x)\in M_{\alpha_2}，则 f(x)⋅g(x)∈Mα1⋅α2f(x)\cdot g(x)\in M_{\alpha_1\cdot\alpha_2}
B.
若 f(x)∈Mα1f(x)\in M_{\alpha_1}，g(x)∈Mα2g(x)\in M_{\alpha_2} 且 g(x)≠0g(x)\neq 0，则 f(x)g(x)∈Mα1α2\frac{f(x)}{g(x)}\in M_{\frac{\alpha_1}{\alpha_2}}
C.
若 f(x)∈Mα1f(x)\in M_{\alpha_1}，g(x)∈Mα2g(x)\in M_{\alpha_2}，则 f(x)+g(x)∈Mα1+α2f(x)+g(x)\in M_{\alpha_1+\alpha_2}
D.
若 f(x)∈Mα1f(x)\in M_{\alpha_1}，g(x)∈Mα2g(x)\in M_{\alpha_2} 且 α1>α2\alpha_1>\alpha_2，则 f(x)−g(x)∈Mα1−α2f(x)-g(x)\in M_{\alpha_1-\alpha_2}

2009 · 浙江 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11数列★★☆☆☆
设等比数列 {an}\{a_n\} 的公比 q=12q=\frac{1}{2}，前 nn 项和为 SnS_n，则 S4a4=‾\frac{S_4}{a_4}=\underline{\hspace{2em}}.

2009 · 浙江 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12立体几何初步★★★☆☆
若某几何体的三视图（单位：cm\mathrm{cm}）如图所示，则此几何体的体积是______cm3\mathrm{cm}^3.

2009 · 浙江 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13不等式★★☆☆☆
若实数 xx，yy 满足不等式组
{x+y⩾2,2x−y⩽4,x−y⩾0,\begin{cases} x+y\geqslant 2,\\ 2x-y\leqslant 4,\\ x-y\geqslant 0, \end{cases}
则 2x+3y2x+3y 的最小值是______.

2009 · 浙江 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★☆☆☆
某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价. 该地区的电网销售电价表如下：
高峰时间段用电价格表
低谷时间段用电价格表
若某家庭 55 月份的高峰时段用电量为 200 千瓦时200\text{ 千瓦时}，低谷时段用电量为 100 千瓦时100\text{ 千瓦时}，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为______元\text{元}.

2009 · 浙江 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15计数原理与组合数学★★★☆☆
观察下列等式：
C51+C55=23−2\mathrm C_5^1+\mathrm C_5^5 = 2^3-2，
C91+C95+C99=27+23\mathrm C_9^1+\mathrm C_9^5+\mathrm C_9^9 = 2^7+2^3，
C131+C135+C139+C1313=211−25\mathrm C_{13}^1+\mathrm C_{13}^5+\mathrm C_{13}^9+\mathrm C_{13}^{13} = 2^{11}-2^5，
C171+C175+C179+C1713+C1717=215+27\mathrm C_{17}^1+\mathrm C_{17}^5+\mathrm C_{17}^9+\mathrm C_{17}^{13}+\mathrm C_{17}^{17} = 2^{15}+2^7，
……
由以上等式推测到一个一般的结论： 对于 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，C4n+11+C4n+15+C4n+19+⋯+C4n+14n+1=‾\mathrm C_{4n+1}^1+\mathrm C_{4n+1}^5+\mathrm C_{4n+1}^9+\cdots+\mathrm C_{4n+1}^{4n+1}=\underline{\hspace{2em}}.

2009 · 浙江 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16计数原理与组合数学★★★☆☆
甲，乙，丙 33 人站到共有 77 级的台阶上，若每级台阶最多站 22 人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是______.

2009 · 浙江 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17立体几何初步★★★★☆
如图，在长方形 ABCDABCD 中，AB=2AB=2，BC=1BC=1，EE 为 DCDC 的中点，FF 为线段 ECEC（端点除外）上一动点. 现将 △AFD\triangle AFD 沿 AFAF 折起，使平面 ABD⊥ABD\perp 平面 ABCABC. 在平面 ABDABD 内过点 DD 作 DK⊥ABDK\perp AB，KK 为垂足. 设 AK=tAK=t，则 tt 的取值范围是______.

2009 · 浙江 · 理 · 第 17 题 · 填空题

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18三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc，且满足 cos⁡A2=255\cos\frac{A}{2}=\frac{2\sqrt{5}}{5}，AB→⋅AC→=3\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=3.
(1) 求 △ABC\triangle ABC 的面积； (2) 若 b+c=6b+c=6，求 aa 的值.

2009 · 浙江 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19概率与统计★★★☆☆
在 11，22，33，⋯\cdots，99 这 99 个自然数中，任取 33 个数.
(1) 求这 33 个数中恰有 11 个是偶数的概率； (2) 设 ξ\xi 为 33 个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为 11，22，33，则有两组相邻的数 11，22 和 22，33，此时 ξ\xi 的值是 22）. 求随机变量 ξ\xi 的分布列及其数学期望 E(ξ)E(\xi).

2009 · 浙江 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20立体几何初步★★★★☆
如图，平面 PAC⊥PAC \perp 平面 ABCABC，△ABC\triangle ABC 是以 ACAC 为斜边的等腰直角三角形，EE，FF，OO 分别为 PAPA，PBPB，ACAC 的中点，AC=16AC=16，PA=PC=10PA=PC=10.
(1) 设 GG 是 OCOC 的中点，证明：FG∥FG \parallel 平面 BOEBOE； (2) 证明：在 △ABO\triangle ABO 内存在一点 MM，使 FM⊥FM \perp 平面 BOEBOE，并求点 MM 到 OAOA，OBOB 的距离.

2009 · 浙江 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
已知椭圆 C1:y2a2+x2b2=1C_1:\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的右顶点为 A(1,0)A(1,0)，过 C1C_1 的焦点且垂直长轴的弦长为 11.
(1) 求椭圆 C1C_1 的方程； (2) 设点 PP 在抛物线 C2:y=x2+hC_2:y=x^2+h（h∈Rh\in\mathbf{R}）上，C2C_2 在点 PP 处的切线与 C1C_1 交于点 MM，NN. 当线段 APAP 的中点与 MNMN 的中点的横坐标相等时，求 hh 的最小值.

2009 · 浙江 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=x3−(k2−k+1)x2+5x−2f(x)=x^3-(k^2-k+1)x^2+5x-2，g(x)=k2x2+kx+1g(x)=k^2x^2+kx+1，其中 k∈Rk\in\mathbf{R}.
(1) 设函数 p(x)=f(x)+g(x)p(x)=f(x)+g(x). 若 p(x)p(x) 在区间 (0,3)(0,3) 上不单调，求 kk 的取值范围； (2) 设函数
q(x)={g(x),x⩾0,f(x),x<0.q(x)=\begin{cases} g(x), & x\geqslant 0,\\ f(x), & x<0. \end{cases}
是否存在 kk，对任意给定的非零实数 x1x_1，存在唯一的非零实数 x2x_2（x2≠x1x_2\neq x_1），使得 q′(x2)=q′(x1)q'(x_2)=q'(x_1) 成立？若存在，求 kk 的值；若不存在，请说明理由.

2009 · 浙江 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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