已知两定点 $F_{1}(-\sqrt{2},0)$，$F_{2}(\sqrt{2},0)$，满足条件 $\left|\overrightarrow{PF_2}\right| - \left|\overrightarrow{PF_1}\right| = 2$ 的点 $P$ 的轨迹是曲线 $E$，直线 $y = kx - 1$ 与曲线 $E$ 交于 $A$，$B$ 两点. 如果 $\left|\overrightarrow{AB}\right| = 6\sqrt{3}$，且曲线 $E$ 上存在点 $C$，使 $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = m\overrightarrow{OC}$，求 $m$ 的值和 $\triangle ABC$ 的面积 $S$.

已知函数 $f(x)=x^2+\frac{2}{x}+a\ln x$（$x>0$），$f(x)$ 的导函数是 $f'(x)$. 对任意两个不相等的正数 $x_1$，$x_2$，证明：

(1) 当 $a\leqslant 0$ 时，$\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}>f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)$； (2) 当 $a\leqslant 4$ 时，$|f'(x_1)-f'(x_2)|>|x_1-x_2|$.