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01集合与逻辑基础★★☆☆☆
已知集合 A={x∣x2−5x+6⩽0}A = \{x \mid x^2 - 5x + 6 \leqslant 0\}，集合 B={x∣∣2x−1∣>3}B = \{x \mid |2x - 1| > 3\}，则集合 A∩B=A \cap B =（ ）
A.
{x∣2⩽x⩽3}\{x\mid 2\leqslant x\leqslant 3\}
B.
{x∣2⩽x<3}\{x\mid 2\leqslant x < 3\}
C.
{x∣2<x⩽3}\{x\mid 2 < x\leqslant 3\}
D.
{x∣−1<x<3}\{x\mid -1 < x < 3\}

2006 · 四川 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02复数★☆☆☆☆
复数 (1−i)3(1 - \mathrm{i})^3 的虚部为（ ）
A.
33
B.
−3-3
C.
22
D.
−2-2

2006 · 四川 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03函数与初等函数★☆☆☆☆
已知
f(x)={2x+3,x≠1,2,x=1,f(x)=\begin{cases} 2x+3, & x\ne 1,\\ 2, & x=1, \end{cases}
下面结论正确的是（ ）
A.
f(x)f(x) 在 x=1x = 1 处连续
B.
f(1)=5f(1) = 5
C.
lim⁡x→1−f(x)=2\displaystyle\lim_{x\to 1^{-}}f(x) = 2
D.
lim⁡x→1+f(x)=5\displaystyle\lim_{x\to 1^{+}}f(x) = 5

2006 · 四川 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04立体几何初步★★☆☆☆
已知二面角 α−l−β\alpha - l - \beta 的大小为 60∘60^{\circ}，mm，nn 为异面直线，且 m⊥αm \perp \alpha，n⊥βn \perp \beta，则 mm，nn 所成的角为（ ）
A.
30∘30^{\circ}
B.
60∘60^{\circ}
C.
90∘90^{\circ}
D.
120∘120^{\circ}

2006 · 四川 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05三角函数★★☆☆☆
下列函数中，图象的一部分如图所示的是（ ）
A.
y=sin⁡(x+π6)y = \sin \left(x + \frac{\pi}{6}\right)
B.
y=sin⁡(2x−π6)y = \sin \left(2x - \frac{\pi}{6}\right)
C.
y=cos⁡(4x−π3)y = \cos \left(4x - \frac{\pi}{3}\right)
D.
y=cos⁡(2x−π6)y = \cos \left(2x - \frac{\pi}{6}\right)

2006 · 四川 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06解析几何★★☆☆☆
已知两定点 A(−2,0)A(-2,0)，B(1,0)B(1,0)，如果动点 PP 满足 ∣PA∣=2∣PB∣\lvert PA\rvert=2\lvert PB\rvert，则点 PP 的轨迹所包围的图形的面积等于（ ）
A.
π\pi
B.
4π4\pi
C.
8π8\pi
D.
9π9\pi

2006 · 四川 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07平面向量★★☆☆☆
如图，已知正六边形 P1P2P3P4P5P6P_{1}P_{2}P_{3}P_{4}P_{5}P_{6}，下列向量的数量积中最大的是（ ）
A.
P1P2→⋅P1P3→\overrightarrow{P_1P_2} \cdot \overrightarrow{P_1P_3}
B.
P1P2→⋅P1P4→\overrightarrow{P_1P_2} \cdot \overrightarrow{P_1P_4}
C.
P1P2→⋅P1P5→\overrightarrow{P_1P_2} \cdot \overrightarrow{P_1P_5}
D.
P1P2→⋅P1P6→\overrightarrow{P_1P_2} \cdot \overrightarrow{P_1P_6}

2006 · 四川 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08不等式★★☆☆☆
某厂生产甲产品每千克需用原料 AA 和原料 BB 分别为 a1a_{1}，b1b_{1} 千克，生产乙产品每千克需用原料 AA 和原料 BB 分别为 a2a_{2}，b2b_{2} 千克. 甲、乙产品每千克可获利润分别为 d1d_{1}，d2d_{2} 元. 月初一次性购进本月用原料 AA，BB 各 c1c_{1}，c2c_{2} 千克. 要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大. 在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为 xx 千克，yy 千克，月利润总额为 zz 元，那么，用于求使总利润 z=d1x+d2yz=d_{1}x+d_{2}y 最大的数学模型中，约束条件为（ ）
A.
{a1x+a2y⩾c1,b1x+b2y⩾c2,x⩾0,y⩾0\begin{cases} a_{1}x + a_{2}y \geqslant c_{1},\\ b_{1}x + b_{2}y \geqslant c_{2},\\ x \geqslant 0,\\ y \geqslant 0 \end{cases}
B.
{a1x+b1y⩽c1,a2x+b2y⩽c2,x⩾0,y⩾0\begin{cases} a_{1}x + b_{1}y \leqslant c_{1},\\ a_{2}x + b_{2}y \leqslant c_{2},\\ x \geqslant 0,\\ y \geqslant 0 \end{cases}
C.
{a1x+a2y⩽c1,b1x+b2y⩽c2,x⩾0,y⩾0\begin{cases} a_{1}x + a_{2}y \leqslant c_{1},\\ b_{1}x + b_{2}y \leqslant c_{2},\\ x \geqslant 0,\\ y \geqslant 0 \end{cases}
D.
{a1x+a2y=c1,b1x+b2y=c2,x⩾0,y⩾0\begin{cases} a_{1}x + a_{2}y = c_{1},\\ b_{1}x + b_{2}y = c_{2},\\ x \geqslant 0,\\ y \geqslant 0 \end{cases}

2006 · 四川 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09解析几何★★☆☆☆
直线 y=x−3y = x - 3 与抛物线 y2=4xy^{2} = 4x 交于 AA，BB 两点，过 AA，BB 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为 PP，QQ，则梯形 APQBAPQB 的面积为（ ）
A.
4848
B.
5656
C.
6464
D.
7272

2006 · 四川 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10立体几何初步★★★★☆
已知球 OO 的半径是 11，AA，BB，CC 三点都在球面上，AA，BB 两点和 AA，CC 两点的球面距离都是 π4\frac{\pi}{4}，BB，CC 两点的球面距离是 π3\frac{\pi}{3}，则二面角 B−OA−CB-OA-C 的大小是（ ）
A.
π4\frac{\pi}{4}
B.
π3\frac{\pi}{3}
C.
π2\frac{\pi}{2}
D.
2π3\frac{2\pi}{3}

2006 · 四川 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11三角函数★★★★☆
设 aa，bb，cc 分别是 △ABC\triangle ABC 的三个内角 AA，BB，CC 所对的边，则 a2=b(b+c)a^{2}=b(b+c) 是 A=2BA=2B 的（ ）
A.
充要条件
B.
充分而不必要条件
C.
必要而不充分条件
D.
既不充分也不必要条件

2006 · 四川 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12计数原理与组合数学★★★★☆
从 00 到 99 这 1010 个数字中任取 33 个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被 33 整除的概率为（ ）
A.
1954\frac{19}{54}
B.
3554\frac{35}{54}
C.
3854\frac{38}{54}
D.
4160\frac{41}{60}

2006 · 四川 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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13立体几何初步★★★☆☆
在三棱锥 O−ABCO-ABC 中，三条棱 OAOA，OBOB，OCOC 两两互相垂直，且 OA=OB=OCOA=OB=OC，MM 是 ABAB 边的中点，则 OMOM 与平面 ABCABC 所成角的大小是______（用反三角函数表示）.

2006 · 四川 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14概率与统计★★☆☆☆
设离散型随机变量 ξ\xi 可能取的值为 11，22，33，44. P(ξ=k)=ak+bP(\xi=k)=ak+b（k=1k=1，22，33，44）. 又 ξ\xi 的数学期望 E(ξ)=3E(\xi)=3，则 a+b=a+b=______.

2006 · 四川 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15解析几何★★★☆☆
如图，把椭圆 x225+y216=1\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1 的长轴 ABAB 分成 88 等分，过每个分点作 xx 轴的垂线交椭圆的上半部分于 P1P_1，P2P_2，⋯\cdots，P7P_7 七个点，FF 是椭圆的一个焦点，
则 ∣P1F∣+∣P2F∣+⋯+∣P7F∣=‾|P_1F| + |P_2F| + \cdots + |P_7F| =\underline{\hspace{2em}}.

2006 · 四川 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16集合与逻辑基础★★☆☆☆
非空集合 GG 关于运算 ⊕\oplus 满足：
① 对任意 aa，b∈Gb\in G，都有 a⊕b∈Ga\oplus b\in G； ② 存在 e∈Ge\in G，使得对一切 a∈Ga\in G，都有 a⊕e=e⊕a=aa\oplus e=e\oplus a=a，
则称 GG 关于运算 ⊕\oplus 为“融洽集”. 现给出下列集合和运算：
① G={非负整数}G=\{\text{非负整数}\}，⊕\oplus 为整数的加法； ② G={偶数}G=\{\text{偶数}\}，⊕\oplus 为整数的乘法； ③ G={平面向量}G=\{\text{平面向量}\}，⊕\oplus 为平面向量的加法； ④ G={二次三项式}G=\{\text{二次三项式}\}，⊕\oplus 为多项式的加法； ⑤ G={虚数}G=\{\text{虚数}\}，⊕\oplus 为复数的乘法.
其中 GG 关于运算 ⊕\oplus 为“融洽集”的是______（写出所有“融洽集”的序号）.

2006 · 四川 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17三角函数★★★☆☆
已知 AA，BB，CC 是 △ABC\triangle ABC 三内角，向量 m=(−1,3)\boldsymbol{m}=(-1,\sqrt{3})，n=(cos⁡A,sin⁡A)\boldsymbol{n}=(\cos A,\sin A)，且 m⋅n=1\boldsymbol{m}\cdot \boldsymbol{n}=1.
(1) 求角 AA； (2) 若 1+sin⁡2Bcos⁡2B−sin⁡2B=−3\frac{1+\sin2B}{\cos^{2}B-\sin^{2}B}=-3，求 tan⁡C\tan C.

2006 · 四川 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
某课程考核分理论和实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都“合格”则该课程考核“合格”. 甲，乙，丙三人在理论考核中合格的概率分别为 0.90.9，0.80.8，0.70.7，在实验考核中合格的概率分别为 0.80.8，0.70.7，0.90.9. 所有考核是否合格互相之间没有影响.
(1) 求甲，乙，丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率； (2) 求这三人该课程考核都合格的概率（结果保留三位小数）.

2006 · 四川 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，在长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，EE，PP 分别是 BCBC，A1D1A_{1}D_{1} 的中点，MM，NN 分别是 AEAE，CD1CD_{1} 的中点，AD=AA1=aAD=AA_{1}=a，AB=2aAB=2a.
(1) 求证：MN∥MN\parallel 面 ADD1A1ADD_{1}A_{1}； (2) 求二面角 P−AE−DP-AE-D 的大小； (3) 求三棱锥 P−DENP-DEN 的体积.

2006 · 四川 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_n\}，其中 a1=1a_1=1，a2=3a_2=3，2an=an+1+an−12a_n=a_{n+1}+a_{n-1}（n⩾2n\geqslant 2）. 记数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n，数列 {ln⁡Sn}\{\ln S_n\} 的前 nn 项和为 UnU_n.
(1) 求 UnU_n； (2) 设 Fn(x)=eUn2n(n!)2x2nF_n(x)=\frac{\mathrm{e}^{U_n}}{2n(n!)^2}x^{2n}（x>0x>0），Tn(x)=∑k=1nFk′(x)T_n(x)=\sum_{k=1}^{n}F_k'(x)（其中 Fk′(x)F_k'(x) 为 Fk(x)F_k(x) 的导函数），计算 lim⁡n→∞Tn(x)Tn+1(x)\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{T_n(x)}{T_{n+1}(x)}.

2006 · 四川 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
已知两定点 F1(−2,0)F_{1}(-\sqrt{2},0)，F2(2,0)F_{2}(\sqrt{2},0)，满足条件 ∣PF2→∣−∣PF1→∣=2\left|\overrightarrow{PF_2}\right| - \left|\overrightarrow{PF_1}\right| = 2 的点 PP 的轨迹是曲线 EE，直线 y=kx−1y = kx - 1 与曲线 EE 交于 AA，BB 两点. 如果 ∣AB→∣=63\left|\overrightarrow{AB}\right| = 6\sqrt{3}，且曲线 EE 上存在点 CC，使 OA→+OB→=mOC→\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = m\overrightarrow{OC}，求 mm 的值和 △ABC\triangle ABC 的面积 SS.

2006 · 四川 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=x2+2x+aln⁡xf(x)=x^2+\frac{2}{x}+a\ln x（x>0x>0），f(x)f(x) 的导函数是 f′(x)f'(x). 对任意两个不相等的正数 x1x_1，x2x_2，证明：
(1) 当 a⩽0a\leqslant 0 时，f(x1)+f(x2)2>f(x1+x22)\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}>f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)； (2) 当 a⩽4a\leqslant 4 时，∣f′(x1)−f′(x2)∣>∣x1−x2∣|f'(x_1)-f'(x_2)|>|x_1-x_2|.

2006 · 四川 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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