如图，已知点 $P$ 是 $y$ 轴左侧（不含 $y$ 轴）一点，抛物线 $C:y^2=4x$ 上存在不同的两点 $A$，$B$ 满足 $PA$，$PB$ 的中点均在 $C$ 上.

(1) 设 $AB$ 中点为 $M$，证明：$PM$ 垂直于 $y$ 轴； (2) 若 $P$ 是半椭圆 $x^2+\dfrac{y^2}{4}=1$（$x<0$）上的动点，求 $\triangle PAB$ 面积的取值范围.

已知函数 $f(x)=\sqrt{x}-\ln x$.

(1) 若 $f(x)$ 在 $x=x_1$，$x_2$（$x_1\ne x_2$）处导数相等，证明：$f(x_1)+f(x_2)>8-8\ln2$； (2) 若 $a\le3-4\ln2$，证明：对于任意 $k>0$，直线 $y=kx+a$ 与曲线 $y=f(x)$ 有唯一公共点.