已知函数 （$a>0$，且 $a\ne 1$）在 $\mathbf{R}$ 上单调递减，且关于 $x$ 的方程 $|f(x)|=2-\frac{x}{3}$ 恰有两个不相等的实数解，则 $a$ 的取值范围是______.

设函数 $f(x)=x^3-ax-b$，$x\in \mathbf{R}$，其中 $a$，$b\in \mathbf{R}$.

(1) 求 $f(x)$ 的单调区间； (2) 若 $f(x)$ 存在极值点 $x_0$，且 $f(x_1)=f(x_0)$，其中 $x_1\ne x_0$，求证：$x_1+2x_0=0$； (3) 设 $a>0$，函数 $g(x)=|f(x)|$，求证：$g(x)$ 在区间 $[-1,1]$ 上的最大值不小于 $\dfrac14$.