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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 A={1,2,3}A=\{1,2,3\}，B={y∣y=2x−1, x∈A}B=\{y\mid y=2x-1,\ x\in A\}，则 A∩B=A\cap B=（ ）
A.
{1,3}\{1,3\}
B.
{1,2}\{1,2\}
C.
{2,3}\{2,3\}
D.
{1,2,3}\{1,2,3\}

2016 · 天津 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02概率与统计★☆☆☆☆
甲，乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 12\frac12，甲获胜的概率是 13\frac13，则甲不输的概率为（ ）
A.
56\frac56
B.
25\frac25
C.
16\frac16
D.
13\frac13

2016 · 天津 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03立体几何初步★★☆☆☆
将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（ ）
A.
B.
C.
D.

2016 · 天津 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04解析几何★★☆☆☆
已知双曲线 x2a2−y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）的焦距为 252\sqrt5，且双曲线的一条渐近线与直线 2x+y=02x+y=0 垂直，则双曲线的方程为（ ）
A.
x24−y2=1\dfrac{x^2}{4}-y^2=1
B.
x2−y24=1x^2-\dfrac{y^2}{4}=1
C.
3x220−3y25=1\dfrac{3x^2}{20}-\dfrac{3y^2}{5}=1
D.
3x25−3y220=1\dfrac{3x^2}{5}-\dfrac{3y^2}{20}=1

2016 · 天津 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05集合与逻辑基础★★☆☆☆
设 x>0x>0，y∈Ry\in \mathbf{R}，则“x>yx>y”是“x>∣y∣x>|y|”的（ ）
A.
充要条件
B.
充分不必要条件
C.
必要而不充分条件
D.
既不充分也不必要条件

2016 · 天津 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06函数与初等函数★★★☆☆
已知 f(x)f(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上的偶函数，且在区间 (−∞,0)\left( -\infty,0 \right) 上单调递增，若实数 aa 满足 f(2∣a−1∣)>f(−2)f\left( 2^{|a-1|} \right)>f\left( -\sqrt2 \right)，则 aa 的取值范围是（ ）
A.
(−∞,12)\left( -\infty,\frac12 \right)
B.
(−∞,12)∪(32,+∞)\left( -\infty,\frac12 \right)\cup\left( \frac32,+\infty \right)
C.
(12,32)\left( \frac12,\frac32 \right)
D.
(32,+∞)\left( \frac32,+\infty \right)

2016 · 天津 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07平面向量★★☆☆☆
已知 △ABC\triangle ABC 是边长为 11 的等边三角形，点 DD，EE 分别是边 ABAB，BCBC 的中点，连接 DEDE 并延长到点 FF，使得 DE=2EFDE=2EF，则 AF→⋅BC→\overrightarrow{AF}\cdot\overrightarrow{BC} 的值为（ ）
A.
−58-\frac58
B.
18\frac18
C.
14\frac14
D.
118\frac{11}{8}

2016 · 天津 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08三角函数★★★★☆
已知函数 f(x)=sin⁡2ωx2+12sin⁡ωx−12f(x)=\sin^2\frac{\omega x}{2}+\frac12\sin\omega x-\frac12（ω>0\omega>0，x∈Rx\in \mathbf{R}），若 f(x)f(x) 在区间 (π,2π)\left( \pi,2\pi \right) 内没有零点，则 ω\omega 的取值范围是（ ）
A.
(0,18]\left( 0,\frac18 \right]
B.
(0,14]∪[58,1)\left( 0,\frac14 \right]\cup\left[ \frac58,1 \right)
C.
(0,58]\left( 0,\frac58 \right]
D.
(0,18]∪[14,58]\left( 0,\frac18 \right]\cup\left[ \frac14,\frac58 \right]

2016 · 天津 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09复数★☆☆☆☆
i\mathrm{i} 是虚数单位，复数 zz 满足 (1+i)z=2\left( 1+\mathrm{i} \right)z=2，则 zz 的实部为______.

2016 · 天津 · 文 · 第 9 题 · 填空题

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10导数及其应用★☆☆☆☆
已知函数 f(x)=(2x+1)exf(x)=\left( 2x+1 \right)\mathrm{e}^x，f′(x)f'(x) 为 f(x)f(x) 的导函数，则 f′(0)f'(0) 的值为______.

2016 · 天津 · 文 · 第 10 题 · 填空题

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11数列★★☆☆☆
阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出 SS 的值为______.

2016 · 天津 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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12解析几何★★☆☆☆
已知圆 CC 的圆心在 xx 轴正半轴上，点 M(0,5)M\left( 0,\sqrt5 \right) 在圆 CC 上，且圆心到直线 2x−y=02x-y=0 的距离为 455\frac{4\sqrt5}{5}，则圆 CC 的方程为______.

2016 · 天津 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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13解析几何★★★☆☆
如图，ABAB 是圆的直径，弦 CDCD 与 ABAB 相交于点 EE，BE=2AE=2BE=2AE=2，BD=EDBD=ED，则线段 CECE 的长为______.

2016 · 天津 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★★★★
已知函数
f(x)={x2+(4a−3)x+3a,x<0,log⁡a(x+1)+1,x≥0f(x)=\begin{cases} x^2+\left( 4a-3 \right)x+3a, & x<0,\\ \log_a\left( x+1 \right)+1, & x\ge 0 \end{cases}
（a>0a>0，且 a≠1a\ne 1）在 R\mathbf{R} 上单调递减，且关于 xx 的方程 ∣f(x)∣=2−x3|f(x)|=2-\frac{x}{3} 恰有两个不相等的实数解，则 aa 的取值范围是______.

2016 · 天津 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，内角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc，已知 asin⁡2B=3bsin⁡Aa\sin 2B=\sqrt3 b\sin A.
(1) 求 BB； (2) 已知 cos⁡A=13\cos A=\dfrac13，求 sin⁡C\sin C 的值.

2016 · 天津 · 文 · 第 15 题 · 解答题

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16不等式★★★☆☆
某化工厂生产甲，乙两种混合肥料，需要 AA，BB，CC 三种主要原料，生产 1 车皮甲种肥料和生产 1 车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如表所示：
肥料\end{tabular}AABBCC
乙5510
现有 AA 种原料 200 吨，BB 种原料 360 吨，CC 种原料 300 吨，在此基础上生产甲，乙两种肥料. 已知生产 1 车皮甲种肥料，产生的利润为 2 万元；生产 1 车皮乙种肥料，产生的利润为 3 万元. 分别用 xx，yy 表示计划生产甲，乙两种肥料的车皮数.
(1) 用 xx，yy 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2) 问分别生产甲，乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润.

2016 · 天津 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★★☆
如图，四边形 ABCDABCD 是平行四边形，平面 AED⊥AED \perp 平面 ABCDABCD，EF∥ABEF\parallel AB，AB=2AB=2，DE=3DE=3，BC=EF=1BC=EF=1，AE=6AE=\sqrt6，∠BAD=60∘\angle BAD=60^\circ，GG 为 BCBC 的中点.
(1) 求证：FG∥FG\parallel 平面 BEDBED； (2) 求证：平面 BED⊥BED \perp 平面 AEDAED； (3) 求直线 EFEF 与平面 BEDBED 所成角的正弦值.

2016 · 天津 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18数列★★★☆☆
已知 {an}\{a_n\} 是等比数列，前 nn 项和为 SnS_n（n∈N∗n\in \mathbf{N}^*），且 1a1−1a2=2a3\dfrac{1}{a_1}-\dfrac{1}{a_2}=\dfrac{2}{a_3}，S6=63S_6=63.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 若对任意的 n∈N∗n\in \mathbf{N}^*，bnb_n 是 log⁡2an\log_2 a_n 和 log⁡2an+1\log_2 a_{n+1} 的等差中项，求数列 {(−1)nbn2}\{(-1)^n b_n^2\} 的前 2n2n 项和.

2016 · 天津 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
设椭圆 x2a2+y23=1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{3}=1（a>3a>\sqrt3）的右焦点为 FF，右顶点为 AA，已知 1∣OF∣+1∣OA∣=3e∣FA∣\dfrac1{|OF|}+\dfrac1{|OA|}=\dfrac{3e}{|FA|}，其中 OO 为原点，ee 为椭圆的离心率.
(1) 求椭圆的方程； (2) 设过点 AA 的直线 ll 与椭圆交于 BB（BB 不在 xx 轴上），垂直于 ll 的直线与 ll 交于点 MM，与 yy 轴交于点 HH，若 BF⊥HFBF\perp HF，且 ∠MOA=∠MAO\angle MOA=\angle MAO，求直线 ll 的斜率.

2016 · 天津 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=x3−ax−bf(x)=x^3-ax-b，x∈Rx\in \mathbf{R}，其中 aa，b∈Rb\in \mathbf{R}.
(1) 求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 若 f(x)f(x) 存在极值点 x0x_0，且 f(x1)=f(x0)f(x_1)=f(x_0)，其中 x1≠x0x_1\ne x_0，求证：x1+2x0=0x_1+2x_0=0； (3) 设 a>0a>0，函数 g(x)=∣f(x)∣g(x)=|f(x)|，求证：g(x)g(x) 在区间 [−1,1][-1,1] 上的最大值不小于 14\dfrac14.

2016 · 天津 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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