如图，已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2} - y^2 = 1$（$a > 0$）的右焦点为 $F$. 点 $A$，$B$ 分别在 $C$ 的两条渐近线上，$AF \perp x$ 轴，$AB \perp OB$，$BF \parallel OA$（$O$ 为坐标原点）.

(1) 求双曲线 $C$ 的方程； (2) 过 $C$ 上一点 $P(x_0, y_0)$（$y_0 \neq 0$）的直线 $l: \frac{x_0 x}{a^2} - y_0 y = 1$，与直线 $AF$ 相交于点 $M$，与直线 $x = \frac{3}{2}$ 相交于点 $N$. 证明：当点 $P$ 在 $C$ 上移动时，$\frac{|MF|}{|NF|}$ 恒为定值，并求此定值.

随机将 $1$，$2$，$\cdots$，$2n$（$n \in \mathbf{N}^{*}$，$n \geqslant 2$）这 $2n$ 个连续正整数分成 $A$，$B$ 两组，每组 $n$ 个数，$A$ 组最小数为 $a_{1}$，最大数为 $a_{2}$；$B$ 组最小数为 $b_{1}$，最大数为 $b_{2}$，记 $\xi = a_{2} - a_{1}$，$\eta = b_{2} - b_{1}$.

(1) 当 $n = 3$ 时，求 $\xi$ 的分布列和数学期望； (2) 令 $C$ 表示事件 $\xi$ 与 $\eta$ 的取值恰好相等，求事件 $C$ 发生的概率 $P(C)$； (3) 对（2）中的事件 $C$，$\bar{C}$ 表示 $C$ 的对立事件，判断 $P(\bar{C})$ 和 $P(C)$ 的大小关系，并说明理由.