已知函数 $f(x) = \frac{1}{3} ax^3 + bx^2 + cx + d$，其中 $a$，$b$，$c$ 是以 $d$ 为公差的等差数列，且 $a > 0$，$d > 0$. 设 $x_0$ 为 $f(x)$ 的极小值点. 在 $\left[1 - \frac{2b}{a}, 0\right]$ 上，$f'(x)$ 在 $x_1$ 处取得最大值，在 $x_2$ 处取得最小值. 将 $(x_0, f(x_0))$，$(x_1, f'(x_1))$，$(x_2, f'(x_2))$ 依次记为 $A$，$B$，$C$.

(1) 求 $x_0$； (2) 若 $\triangle ABC$ 有一边平行于 $x$ 轴，且面积为 $2 + \sqrt{3}$，求 $a$，$d$ 的值.

已知 $f_{0}(x) = x^{n}$，$f_{k}(x) = \frac{f'_{k-1}(x)}{f_{k-1}(1)}$，其中 $k \leqslant n$（$n$，$k\in\mathbf{N}_{+}$）. 设 $F(x) = \mathrm C_n^0 f_0(x^{2}) + \mathrm C_n^1 f_1(x^{2}) + \cdots + \mathrm C_n^n f_n(x^{2})$，$x \in [-1,1]$.

(1) 写出 $f_k(1)$； (2) 证明：对任意的 $x_{1}$，$x_{2}\in[-1,1]$，恒有 $|F(x_{1}) - F(x_{2})| \leqslant 2^{n-1}(n+2) - n - 1$.