如图，椭圆 $C_{1}:\frac{x^{2}}{a^{2}} +\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$（$a > b > 0$）的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，$x$ 轴被曲线 $C_2$：$y = x^{2} - b$ 截得的线段长等于 $C_1$ 的长半轴长.

(1) 求 $C_1$，$C_2$ 的方程； (2) 设 $C_2$ 与 $y$ 轴的交点为 $M$，过坐标原点 $O$ 的直线 $l$ 与 $C_2$ 相交于点 $A$，B，直线 $MA$，$MB$ 分别与 $C_1$ 相交于点 $D$，$E$.

(i) 证明：$MD \perp ME$； (ii) 记 $\triangle MAB$，$\triangle MDE$ 的面积分别是 $S_{1}$，$S_{2}$. 问：是否存在直线 $l$，使得 $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{17}{32}$，请说明理由.

已知函数 $f(x) = x^3$，$g(x) = x + \sqrt{x}$.

(1) 求函数 $h(x) = f(x) - g(x)$ 的零点个数，并说明理由； (2) 设数列 $\{a_{n}\}$（$n \in \mathbf{N}^{*}$）满足 $a_{1} = a$（$a > 0$），$f(a_{n+1}) = g(a_{n})$，证明：存在常数 $M$，使得对于任意的 $n \in \mathbf{N}^{*}$，都有 $a_{n} \leqslant M$.