已知 $a$ 为正实数，$n$ 为自然数，抛物线 $y = -x^{2} + \frac{a^{n}}{2}$ 与 $x$ 轴正半轴相交于点 $A$. 设 $f(n)$ 为该抛物线在点 $A$ 处的切线在 $y$ 轴上的截距.

(1) 用 $a$ 和 $n$ 表示 $f(n)$； (2) 求对所有 $n$ 都有 $\frac{f(n) - 1}{f(n) + 1} \geqslant \frac{n}{n + 1}$ 成立的 $a$ 的最小值； (3) 当 $0 < a < 1$ 时，比较 $\frac{1}{f(1) - f(2)} + \frac{1}{f(2) - f(4)} + \cdots + \frac{1}{f(n) - f(2n)}$ 与 $6 \cdot \frac{f(1) - f(n + 1)}{f(0) - f(1)}$ 的大小，并说明理由.