已知以原点 $O$ 为中心，$F(\sqrt{5}, 0)$ 为右焦点的双曲线 $C$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

(1) 求双曲线 $C$ 的标准方程及其渐近线方程； (2) 如图，已知过点 $M(x_1, y_1)$ 的直线 $l_1: x_1x + 4y_1y = 4$ 与过点 $N(x_2, y_2)$（其中 $x_2\ne x_1$）的直线 $l_2: x_2x + 4y_2y = 4$ 的交点 $E$ 在双曲线 $C$ 上，直线 $MN$ 与两条渐近线分别交于 $G$，$H$ 两点，求 $\overrightarrow{OG} \cdot \overrightarrow{OH}$ 的值.