已知实数 $x_1$，$x_2$，$y_1$，$y_2$ 满足：$x_1^2+y_1^2=1$，$x_2^2+y_2^2=1$，$x_1x_2+y_1y_2=\frac12$，则 $\frac{\lvert x_1+y_1-1\rvert}{\sqrt2}+\frac{\lvert x_2+y_2-1\rvert}{\sqrt2}$ 的最大值为______.

设常数 $t>2$. 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知点 $F(2,0)$，直线 $l:x=t$，曲线 $\Gamma:y^2=8x$（$0\le x\le t$，$y\ge0$），$l$ 与 $x$ 轴交于点 $A$，与 $\Gamma$ 交于点 $B$. $P$，$Q$ 分别是曲线 $\Gamma$ 与线段 $AB$ 上的动点.

(1) 用 $t$ 表示点 $B$ 到点 $F$ 的距离； (2) 设 $t=3$，$\lvert FQ\rvert=2$，线段 $OQ$ 的中点在直线 $FP$ 上，求 $\triangle AQP$ 的面积； (3) 设 $t=8$，是否存在以 $FP$，$FQ$ 为邻边的矩形 $FPEQ$，使得点 $E$ 在 $\Gamma$ 上？若存在，求点 $P$ 的坐标；若不存在，说明理由.

给定无穷数列 $\{a_n\}$，若无穷数列 $\{b_n\}$ 满足：对任意 $n\in\mathbf{N}^*$，都有 $\lvert b_n-a_n\rvert\le1$，则称 $\{b_n\}$ 与 $\{a_n\}$“接近”.

(1) 设 $\{a_n\}$ 是首项为 $1$，公比为 $\frac12$ 的等比数列，$b_n=a_{n+1}+1$，$n\in\mathbf{N}^*$. 判断数列 $\{b_n\}$ 是否与 $\{a_n\}$ 接近，并说明理由； (2) 设数列 $\{a_n\}$ 的前四项为：$a_1=1$，$a_2=2$，$a_3=4$，$a_4=8$，$\{b_n\}$ 是一个与 $\{a_n\}$ 接近的数列，记集合 $M=\{x\mid x=b_i,\ i=1,2,3,4\}$，求 $M$ 中元素的个数 $m$； (3) 已知 $\{a_n\}$ 是公差为 $d$ 的等差数列. 若存在数列 $\{b_n\}$ 满足：$\{b_n\}$ 与 $\{a_n\}$ 接近，且在 $b_2-b_1$，$b_3-b_2$，$\ldots$，$b_{201}-b_{200}$ 中至少有 $100$ 个为正数，求 $d$ 的取值范围.