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01复数★☆☆☆☆
行列式
∣4125∣\begin{vmatrix}4 & 1\\2 & 5\end{vmatrix}
的值为______.

2018 · 上海 · 第 1 题 · 填空题

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02解析几何★☆☆☆☆
双曲线 x24−y2=1\frac{x^2}{4}-y^2=1 的渐近线方程为______.

2018 · 上海 · 第 2 题 · 填空题

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03计数原理与组合数学★☆☆☆☆
在 (1+x)7(1+x)^7 的二项展开式中，x2x^2 项的系数为______. （结果用数值表示）

2018 · 上海 · 第 3 题 · 填空题

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04指数函数与对数函数★☆☆☆☆
设常数 a∈Ra\in\mathbf{R}，函数 f(x)=log⁡2(x+a)f(x)=\log_2(x+a). 若 f(x)f(x) 的反函数的图像经过点 (3,1)(3,1)，则 a=a=______.

2018 · 上海 · 第 4 题 · 填空题

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05复数★☆☆☆☆
已知复数 zz 满足 (1+i)z=1−7i(1+\mathrm{i})z=1-7\mathrm{i}（i\mathrm{i} 是虚数单位），则 ∣z∣=\lvert z\rvert=______.

2018 · 上海 · 第 5 题 · 填空题

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06数列★★☆☆☆
记等差数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n，若 a3=0a_3=0，a6+a7=14a_6+a_7=14，则 S7=S_7=______.

2018 · 上海 · 第 6 题 · 填空题

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07函数与初等函数★★☆☆☆
已知 α∈{−2,−1,−12,12,1,2,3}\alpha\in\{-2,-1,-\frac12,\frac12,1,2,3\}. 若幂函数 f(x)=xαf(x)=x^\alpha 为奇函数，且在 (0,+∞)(0,+\infty) 上递减，则 α=\alpha=______.

2018 · 上海 · 第 7 题 · 填空题

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08平面向量★★★☆☆
在平面直角坐标系中，已知点 A(−1,0)A(-1,0)，B(2,0)B(2,0)，EE，FF 是 yy 轴上的两个动点，且 ∣EF→∣=2\lvert\overrightarrow{EF}\rvert=2，则 AE→⋅BF→\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{BF} 的最小值为______.

2018 · 上海 · 第 8 题 · 填空题

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09概率与统计★★☆☆☆
有编号互不相同的五个砝码，其中 55 克，33 克，11 克砝码各一个，22 克砝码两个. 从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为 99 克的概率是______. （结果用最简分数表示）

2018 · 上海 · 第 9 题 · 填空题

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10数列★★★☆☆
设等比数列 {an}\{a_n\} 的通项公式为 an=qn−1a_n=q^{n-1}（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*），前 nn 项和为 SnS_n. 若 lim⁡n→∞Snan+1=12\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{S_n}{a_{n+1}}=\frac12，则 q=q=______.

2018 · 上海 · 第 10 题 · 填空题

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11函数与初等函数★★★★☆
已知常数 a>0a>0，函数 f(x)=2x2x+axf(x)=\frac{2^x}{2^x+ax} 的图像经过点 P(p,65)P\left(p,\frac65\right)，Q(q,−15)Q\left(q,-\frac15\right). 若 2p+q=36pq2^{p+q}=36pq，则 a=a=______.

2018 · 上海 · 第 11 题 · 填空题

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12平面向量★★★★★
已知实数 x1x_1，x2x_2，y1y_1，y2y_2 满足：x12+y12=1x_1^2+y_1^2=1，x22+y22=1x_2^2+y_2^2=1，x1x2+y1y2=12x_1x_2+y_1y_2=\frac12，则 ∣x1+y1−1∣2+∣x2+y2−1∣2\frac{\lvert x_1+y_1-1\rvert}{\sqrt2}+\frac{\lvert x_2+y_2-1\rvert}{\sqrt2} 的最大值为______.

2018 · 上海 · 第 12 题 · 填空题

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13解析几何★☆☆☆☆
设 PP 是椭圆 x25+y23=1\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{3}=1 上的动点，则 PP 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）
A.
222\sqrt2
B.
232\sqrt3
C.
252\sqrt5
D.
424\sqrt2

2018 · 上海 · 第 13 题 · 选择题

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14集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知 a∈Ra\in\mathbf{R}，则“a>1a>1”是“1a<1\frac1a<1”的（ ）
A.
充分非必要条件
B.
必要非充分条件
C.
充要条件
D.
既非充分又非必要条件

2018 · 上海 · 第 14 题 · 选择题

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15立体几何初步★★★★☆
《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马. 设 AA1AA_1 是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以 AA1AA_1 为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ）
A.
44
B.
88
C.
1212
D.
1616

2018 · 上海 · 第 15 题 · 选择题

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16函数与初等函数★★★★☆
设 DD 是含数 11 的有限实数集，f(x)f(x) 是定义在 DD 上的函数. 若 f(x)f(x) 的图像绕原点逆时针旋转 π6\frac\pi6 后与原图像重合，则在以下各项中，f(1)f(1) 的可能取值只能是（ ）
A.
3\sqrt3
B.
32\frac{\sqrt3}{2}
C.
33\frac{\sqrt3}{3}
D.
00

2018 · 上海 · 第 16 题 · 选择题

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17立体几何初步★★★☆☆
已知圆锥的顶点为 PP，底面圆心为 OO，半径为 22.
(1) 设圆锥的母线长为 44，求圆锥的体积； (2) 设 PO=4PO=4，OAOA，OBOB 是底面半径，且 ∠AOB=90∘\angle AOB=90^\circ，MM 为线段 ABAB 的中点，如图，求异面直线 PMPM 与 OBOB 所成的角的大小.

2018 · 上海 · 第 17 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
设常数 a∈Ra\in\mathbf{R}，函数 f(x)=asin⁡2x+2cos⁡2xf(x)=a\sin2x+2\cos^2x.
(1) 若 f(x)f(x) 为偶函数，求 aa 的值； (2) 若 f(π4)=3+1f\left(\frac\pi4\right)=\sqrt3+1，求方程 f(x)=1−2f(x)=1-\sqrt2 在区间 [−π,π][-\pi,\pi] 上的解.

2018 · 上海 · 第 18 题 · 解答题

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19函数与初等函数★★★☆☆
某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时. 某地上班族 SS 中的成员仅以自驾或公交方式通勤. 分析显示：当 SS 中 x%x\%（0<x<1000<x<100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间 f(x)f(x)（单位：分钟）为
f(x)={30,0<x≤30,2x+1800x−90,30<x<100f(x)=\begin{cases} 30, & 0<x\le30,\\ 2x+\frac{1800}{x}-90, & 30<x<100 \end{cases}
而公交群体的人均通勤时间不受 xx 影响，恒为 4040 分钟. 试根据上述分析结果回答下列问题：
(1) 当 xx 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ (2) 求该地上班族 SS 的人均通勤时间 g(x)g(x) 的表达式；讨论 g(x)g(x) 的单调性，并说明其实际意义.

2018 · 上海 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★★
设常数 t>2t>2. 在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知点 F(2,0)F(2,0)，直线 l:x=tl:x=t，曲线 Γ:y2=8x\Gamma:y^2=8x（0≤x≤t0\le x\le t，y≥0y\ge0），ll 与 xx 轴交于点 AA，与 Γ\Gamma 交于点 BB. PP，QQ 分别是曲线 Γ\Gamma 与线段 ABAB 上的动点.
(1) 用 tt 表示点 BB 到点 FF 的距离； (2) 设 t=3t=3，∣FQ∣=2\lvert FQ\rvert=2，线段 OQOQ 的中点在直线 FPFP 上，求 △AQP\triangle AQP 的面积； (3) 设 t=8t=8，是否存在以 FPFP，FQFQ 为邻边的矩形 FPEQFPEQ，使得点 EE 在 Γ\Gamma 上？若存在，求点 PP 的坐标；若不存在，说明理由.

2018 · 上海 · 第 20 题 · 解答题

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21数列★★★★★
给定无穷数列 {an}\{a_n\}，若无穷数列 {bn}\{b_n\} 满足：对任意 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，都有 ∣bn−an∣≤1\lvert b_n-a_n\rvert\le1，则称 {bn}\{b_n\} 与 {an}\{a_n\}“接近”.
(1) 设 {an}\{a_n\} 是首项为 11，公比为 12\frac12 的等比数列，bn=an+1+1b_n=a_{n+1}+1，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*. 判断数列 {bn}\{b_n\} 是否与 {an}\{a_n\} 接近，并说明理由； (2) 设数列 {an}\{a_n\} 的前四项为：a1=1a_1=1，a2=2a_2=2，a3=4a_3=4，a4=8a_4=8，{bn}\{b_n\} 是一个与 {an}\{a_n\} 接近的数列，记集合 M={x∣x=bi, i=1,2,3,4}M=\{x\mid x=b_i,\ i=1,2,3,4\}，求 MM 中元素的个数 mm； (3) 已知 {an}\{a_n\} 是公差为 dd 的等差数列. 若存在数列 {bn}\{b_n\} 满足：{bn}\{b_n\} 与 {an}\{a_n\} 接近，且在 b2−b1b_2-b_1，b3−b2b_3-b_2，…\ldots，b201−b200b_{201}-b_{200} 中至少有 100100 个为正数，求 dd 的取值范围.

2018 · 上海 · 第 21 题 · 解答题

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