已知定点 $A(-1,0)$，$F(2,0)$. 定直线 $l: x = \frac{1}{2}$，不在 $x$ 轴上的动点 $P$ 与点 $F$ 的距离是它到直线 $l$ 的距离的 2 倍. 设点 $P$ 的轨迹为 $E$；过点 $F$ 的直线交 $E$ 于 $B$，$C$ 两点，直线 $AB$，$AC$ 分别交 $l$ 于点 $M$，$N$.

(1) 求 $E$ 的方程； (2) 试判断以线段 $MN$ 为直径的圆是否过点 $F$，并说明理由.

设 $f(x) = \frac{1 + a^x}{1 - a^x}$ （$a > 0$ 且 $a \neq 1$），$g(x)$ 是 $f(x)$ 的反函数.

(1) 求 $g(x)$. (2) 当 $x \in [2,6]$ 时，恒有 $g(x) > \log_a \frac{t}{(x^2 - 1)(7 - x)}$ 成立，求 $t$ 的取值范围； (3) 当 $0 < a \leqslant \frac{1}{2}$ 时，试比较 $f(1) + f(2) + \cdots + f(n)$ 与 $n + 4$ 的大小，并说明理由.