如图，过抛物线 $x^{2} = 4y$ 的对称轴上任一点 $P(0, m)$（$m > 0$）作直线与抛物线交于 $A$，$B$ 两点，点 $Q$ 是点 $P$ 关于原点的对称点.

(1) 设点 $P$ 分有向线段 $\overrightarrow{AB}$ 所成的比为 $\lambda$. 证明：$\overrightarrow{QP} \perp (\overrightarrow{QA} - \lambda \overrightarrow{QB})$； (2) 设直线 $AB$ 的方程是 $x - 2y + 12 = 0$，过 $A$，$B$ 两点的圆 $C$ 与抛物线在点 $A$ 处有共同的切线，求圆 $C$ 的方程.