设实数 $a \neq 0$，数列 $\left\{a_n\right\}$ 是首项为 $a$，公比为 $-a$ 的等比数列，记 $b_n = a_n \lg \left|a_n\right|$，$n = 1$，$2$，$\cdots$；$S_n = b_1 + b_2 + \cdots + b_n$，$n = 1$，$2$，$\cdots$.

(1) 求证：当 $a \neq -1$ 时，对任意自然数 $n$，都有 $S_{n} = \frac{a \lg |a|}{(1 + a)^{2}} \left[ 1 + (-1)^{n+1} (1 + n + na) a^{n} \right]$； (2) 请问：当 $0<a<1$ 时，是否存在自然数 $M$，使得对任意自然数 $n$，都有 $b_{n}\leqslant b_{M}$？证明你的结论.