设函数 $f(x) = x^4 + ax^3 + 2x^2 + b$（$x \in \mathbf{R}$），其中 $a$，$b \in \mathbf{R}$.

(1) 当 $a = -\frac{10}{3}$ 时，讨论函数 $f(x)$ 的单调性； (2) 若函数 $f(x)$ 仅在 $x = 0$ 处有极值，求 $a$ 的取值范围； (3) 若对于任意的 $a \in [-2, 2]$，不等式 $f(x) \leqslant 1$ 在 $[-1, 1]$ 上恒成立，求 $b$ 的取值范围.

已知中心在原点的双曲线 $C$ 的一个焦点是 $F_{1}(-3,0)$，一条渐近线的方程是 $\sqrt{5} x - 2y = 0$.

(1) 求双曲线 $C$ 的方程； (2) 若以 $k$（$k \neq 0$）为斜率的直线 $l$ 与双曲线 C 相交于两个不同的点 $M$，$N$，线段 $MN$ 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为 $\frac{81}{2}$，求 $k$ 的取值范围.