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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设集合 U={x∈N∣0<x⩽8}U = \{x \in \mathbf{N} \mid 0 < x \leqslant 8\}，S={1,2,4,5}S = \{1, 2, 4, 5\}，T={3,5,7}T = \{3, 5, 7\}，则 S∩(∁UT)=S \cap (\complement_U T) =（ ）
A.
{1,2,4}\{1,2,4\}
B.
{1,2,3,4,5,7}\{1,2,3,4,5,7\}
C.
{1,2}\{1,2\}
D.
{1,2,4,5,6,8}\{1,2,4,5,6,8\}

2008 · 天津 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02不等式★★☆☆☆
设变量 xx，yy 满足约束条件
{x−y⩾0,x+y⩽1,x+2y⩾1,\begin{cases} x - y \geqslant 0,\\ x + y \leqslant 1,\\ x + 2y \geqslant 1, \end{cases}
则目标函数 z=5x+yz = 5x + y 的最大值（ ）
A.
22
B.
33
C.
44
D.
55

2008 · 天津 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03函数与初等函数★★☆☆☆
函数 y=1+xy = 1 + \sqrt{x}（0⩽x⩽40 \leqslant x \leqslant 4）的反函数是（ ）
A.
y=(x−1)2y = (x - 1)^{2}（1⩽x⩽31 \leqslant x \leqslant 3）
B.
y=(x−1)2y = (x - 1)^{2}（0⩽x⩽40 \leqslant x \leqslant 4）
C.
y=x2−1y = x^{2} - 1（1⩽x⩽31 \leqslant x \leqslant 3）
D.
y=x2−1y = x^{2} - 1（0⩽x⩽40 \leqslant x \leqslant 4）

2008 · 天津 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04数列★★☆☆☆
若等差数列 {an}\{a_{n}\} 的前5项和 S5=25S_{5} = 25，且 a2=3a_{2} = 3，则 a7=a_{7} =（ ）
A.
1212
B.
1313
C.
1414
D.
1515

2008 · 天津 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05立体几何初步★★☆☆☆
设 aa，bb 是两条直线，α\alpha，β\beta 是两个平面，则 a⊥ba \perp b 的一个充分条件是（ ）
A.
a⊥αa \perp \alpha，b∥βb \parallel \beta，α⊥β\alpha \perp \beta
B.
a⊥αa \perp \alpha，b⊥βb \perp \beta，α∥β\alpha \parallel \beta
C.
a⊂αa \subset \alpha，b⊥βb \perp \beta，α∥β\alpha \parallel \beta
D.
a⊂αa \subset \alpha，b∥βb \parallel \beta，α⊥β\alpha \perp \beta

2008 · 天津 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06三角函数★★☆☆☆
把函数 y=sin⁡xy = \sin x（x∈Rx \in \mathbf{R}）的图象上所有的点向左平行移动 π3\frac{\pi}{3} 个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 12\frac{1}{2} 倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ）
A.
y=sin⁡(2x−π3)y = \sin \left(2x - \frac{\pi}{3}\right)（x∈Rx \in \mathbf{R}）
B.
y=sin⁡(x2+π6)y = \sin \left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}\right)（x∈Rx \in \mathbf{R}）
C.
y=sin⁡(2x+π3)y = \sin \left(2x + \frac{\pi}{3}\right)（x∈Rx \in \mathbf{R}）
D.
y=sin⁡(2x+2π3)y = \sin \left(2x + \frac{2\pi}{3}\right)（x∈Rx \in \mathbf{R}）

2008 · 天津 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07解析几何★★☆☆☆
设椭圆 x2m2+y2n2=1\frac{x^2}{m^2} + \frac{y^2}{n^2} = 1（m>0m > 0，n>0n > 0）的右焦点与抛物线 y2=8xy^2 = 8x 的焦点相同，离心率为 12\frac{1}{2}，则此椭圆的方程为（ ）
A.
x212+y216=1\frac{x^2}{12} +\frac{y^2}{16} = 1
B.
x216+y212=1\frac{x^2}{16} +\frac{y^2}{12} = 1
C.
x248+y264=1\frac{x^2}{48} +\frac{y^2}{64} = 1
D.
x264+y248=1\frac{x^2}{64} +\frac{y^2}{48} = 1

2008 · 天津 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★☆☆☆
已知函数
f(x)={x+2,x⩽0,−x+2,x>0,f(x) = \begin{cases} x + 2, & x \leqslant 0,\\ -x + 2, & x > 0, \end{cases}
则不等式 f(x)⩾x2f(x) \geqslant x^2 的解集为（ ）
A.
[−1,1][-1, 1]
B.
[−2,2][-2, 2]
C.
[−2,1][-2, 1]
D.
[−1,2][-1, 2]

2008 · 天津 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09三角函数★★☆☆☆
设 a=sin⁡5π7a = \sin \frac{5\pi}{7}，b=cos⁡2π7b = \cos \frac{2\pi}{7}，c=tan⁡2π7c = \tan \frac{2\pi}{7}，则（ ）
A.
a<b<ca < b < c
B.
a<c<ba < c < b
C.
b<c<ab < c < a
D.
b<a<cb < a < c

2008 · 天津 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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10指数函数与对数函数★★★☆☆
设 a>1a > 1，若对于任意的 x∈[a,2a]x \in [a, 2a]，都有 y∈[a,a2]y \in [a, a^2] 满足方程 log⁡ax+log⁡ay=3\log_a x + \log_a y = 3. 这时 aa 的取值的集合为（ ）
A.
{a∣1<a⩽2}\{a\mid 1 < a \leqslant 2\}
B.
{a∣a⩾2}\{a\mid a \geqslant 2\}
C.
{a∣2⩽a⩽3}\{a\mid 2 \leqslant a \leqslant 3\}
D.
{2,3}\{2, 3\}

2008 · 天津 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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11概率与统计★☆☆☆☆
一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人. 为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工______人.

2008 · 天津 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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12计数原理与组合数学★☆☆☆☆
(x+2x)5\left(x + \frac{2}{x}\right)^5 的二项展开式中 x3x^3 的系数为______.（用数字作答）

2008 · 天津 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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13立体几何初步★☆☆☆☆
若一个球的体积为 43π4\sqrt{3}\pi，则它的表面积为______.

2008 · 天津 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14平面向量★★☆☆☆
已知平面向量 a=(2,4)\boldsymbol{a} = (2, 4)，b=(−1,2)\boldsymbol{b} = (-1, 2)，若 c=a−(a⋅b)b\boldsymbol{c} = \boldsymbol{a} - (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})\boldsymbol{b}. 则 ∣c∣=|\boldsymbol{c}| =______.

2008 · 天津 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15解析几何★★★☆☆
已知圆 CC 的圆心与点 P(−2,1)P(-2,1) 关于直线 y=x+1y = x + 1 对称. 直线 3x+4y−11=03x + 4y - 11 = 0 与圆 CC 相交于 AA，BB 两点，且 ∣AB∣=6|AB| = 6，则圆 CC 的方程为______.

2008 · 天津 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16计数原理与组合数学★★★★☆
有 4 张分别标有数字 1， 2， 3， 4 的红色卡片和 4 张分别标有数字 1， 2， 3， 4 的蓝色卡片，从这 8 张卡片中取出 4 张卡片排成一行. 如果取出的 4 张卡片所标的数字之和等于 10，则不同的排法共有______种.（用数字作答）

2008 · 天津 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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17三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=2cos⁡2ωx+2sin⁡ωxcos⁡ωx+1f(x) = 2\cos^{2}\omega x + 2\sin\omega x\cos \omega x + 1（x∈Rx \in \mathbf{R}，ω>0\omega > 0）的最小正周期是 π2\frac{\pi}{2}.
(1) 求 ω\omega 的值； (2) 求函数 f(x)f(x) 的最大值，并且求使 f(x)f(x) 取得最大值的 xx 的集合.

2008 · 天津 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
甲，乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为 12\frac{1}{2} 与 pp，且乙投球 2 次均未命中的概率为 116\frac{1}{16}.
(1) 求乙投球的命中率 pp； (2) 求甲投球 2 次，至少命中 1 次的概率； (3) 若甲，乙两人各投球 2 次，求两人共命中 2 次的概率.

2008 · 天津 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP - ABCD 中，底面 ABCDABCD 是矩形. 已知 AB=3AB = 3，AD=2AD = 2，PA=2PA = 2，PD=22PD = 2\sqrt{2}，∠PAB=60∘\angle PAB = 60^\circ.
(1) 证明 AD⊥AD \perp 平面 PABPAB； (2) 求异面直线 PCPC 与 ADAD 所成的角的大小； (3) 求二面角 P−BD−AP - BD - A 的大小.

2008 · 天津 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} 中，a1=1a_{1} = 1，a2=2a_{2} = 2，且 an+1=(1+q)an−qan−1a_{n+1} = (1 + q)a_{n} - qa_{n-1}（n⩾2n \geqslant 2，q≠0q \neq 0）.
(1) 设 bn=an+1−anb_{n} = a_{n+1} - a_{n}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}），证明 {bn}\{b_{n}\} 是等比数列； (2) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (3) 若 a3a_{3} 是 a6a_{6} 与 a9a_{9} 的等差中项，求 qq 的值，并证明：对任意的 n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，ana_{n} 是 an+3a_{n + 3} 与 an+6a_{n + 6} 的等差中项.

2008 · 天津 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=x4+ax3+2x2+bf(x) = x^4 + ax^3 + 2x^2 + b（x∈Rx \in \mathbf{R}），其中 aa，b∈Rb \in \mathbf{R}.
(1) 当 a=−103a = -\frac{10}{3} 时，讨论函数 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若函数 f(x)f(x) 仅在 x=0x = 0 处有极值，求 aa 的取值范围； (3) 若对于任意的 a∈[−2,2]a \in [-2, 2]，不等式 f(x)⩽1f(x) \leqslant 1 在 [−1,1][-1, 1] 上恒成立，求 bb 的取值范围.

2008 · 天津 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
已知中心在原点的双曲线 CC 的一个焦点是 F1(−3,0)F_{1}(-3,0)，一条渐近线的方程是 5x−2y=0\sqrt{5} x - 2y = 0.
(1) 求双曲线 CC 的方程； (2) 若以 kk（k≠0k \neq 0）为斜率的直线 ll 与双曲线 C 相交于两个不同的点 MM，NN，线段 MNMN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为 812\frac{81}{2}，求 kk 的取值范围.

2008 · 天津 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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