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18
函数与初等函数
★★★★★
已知函数
f
(
x
)
=
x
2
+
a
x
+
b
f(x) = x^2 + ax + b
f
(
x
)
=
x
2
+
a
x
+
b
（
a
a
a
，
b
∈
R
b \in \mathbf{R}
b
∈
R
），记
M
(
a
,
b
)
M(a, b)
M
(
a
,
b
)
是
∣
f
(
x
)
∣
|f(x)|
∣
f
(
x
)
∣
在区间
[
−
1
,
1
]
[-1, 1]
[
−
1
,
1
]
上的最大值.
(1) 证明：当
∣
a
∣
⩾
2
|a| \geqslant 2
∣
a
∣
⩾
2
时，
M
(
a
,
b
)
⩾
2
M(a, b) \geqslant 2
M
(
a
,
b
)
⩾
2
； (2) 当
a
a
a
，
b
b
b
满足
M
(
a
,
b
)
⩽
2
M(a, b) \leqslant 2
M
(
a
,
b
)
⩽
2
时，求
∣
a
∣
+
∣
b
∣
|a| + |b|
∣
a
∣
+
∣
b
∣
的最大值.
2015 · 浙江 · 理 · 第 18 题 · 解答题
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20
数列
★★★★★
已知数列
{
a
n
}
\{a_{n}\}
{
a
n
}
满足
a
1
=
1
2
a_1 = \frac{1}{2}
a
1
=
2
1
且
a
n
+
1
=
a
n
−
a
n
2
a_{n + 1} = a_n - a_n^2
a
n
+
1
=
a
n
−
a
n
2
（
n
∈
N
∗
n\in \mathbf{N}^*
n
∈
N
∗
）.
(1) 证明：
1
⩽
a
n
a
n
+
1
⩽
2
1 \leqslant \frac{a_n}{a_{n+1}} \leqslant 2
1
⩽
a
n
+
1
a
n
⩽
2
（
n
∈
N
∗
n \in \mathbf{N}^*
n
∈
N
∗
）； (2) 设数列
{
a
n
2
}
\{a_n^2\}
{
a
n
2
}
的前
n
n
n
项和为
S
n
S_n
S
n
，证明：
1
2
(
n
+
2
)
⩽
S
n
n
⩽
1
2
(
n
+
1
)
\frac{1}{2(n+2)} \leqslant \frac{S_n}{n} \leqslant \frac{1}{2(n+1)}
2
(
n
+
2
)
1
⩽
n
S
n
⩽
2
(
n
+
1
)
1
（
n
∈
N
∗
n \in \mathbf{N}^*
n
∈
N
∗
）.
2015 · 浙江 · 理 · 第 20 题 · 解答题
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