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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 P={x∣x2−2x⩾0}P = \{x \mid x^2 - 2x \geqslant 0\}，Q={x∣1<x⩽2}Q = \{x \mid 1 < x \leqslant 2\}，则 (∁RP)∩Q=(\complement_{\mathbf{R}} P) \cap Q =（ ）
A.
[0,1)[0,1)
B.
(0,2](0,2]
C.
(1,2)(1,2)
D.
[1,2][1,2]

2015 · 浙江 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02立体几何初步★★☆☆☆
某几何体的三视图如图所示（单位：cm\mathrm{cm}），则该几何体的体积是（ ）
A.
8 cm38\mathrm{~cm}^{3}
B.
12 cm312\mathrm{~cm}^{3}
C.
323 cm3\frac{32}{3}\mathrm{~cm}^{3}
D.
403 cm3\frac{40}{3}\mathrm{~cm}^{3}

2015 · 浙江 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03数列★★☆☆☆
已知 {an}\{a_n\} 是等差数列，公差 dd 不为零，前 nn 项和是 SnS_n，若 a3a_3，a4a_4，a8a_8 成等比数列，则（ ）
A.
a1d>0a_{1}d > 0，dS4>0dS_{4} > 0
B.
a1d<0a_{1}d < 0，dS4<0dS_{4} < 0
C.
a1d>0a_{1}d > 0，dS4<0dS_{4} < 0
D.
a1d<0a_{1}d < 0，dS4>0dS_{4} > 0

2015 · 浙江 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04集合与逻辑基础★★☆☆☆
命题“∀n∈N∗\forall n \in \mathbf{N}^*，f(n)∈N∗f(n) \in \mathbf{N}^* 且 f(n)⩽nf(n) \leqslant n”的否定形式是（ ）
A.
∀n∈N∗\forall n\in \mathbf{N}^*，f(n)∉N∗f(n)\notin \mathbf{N}^* 且 f(n)>nf(n) > n
B.
∀n∈N∗\forall n\in \mathbf{N}^*，f(n)∉N∗f(n)\notin \mathbf{N}^* 或 f(n)>nf(n) > n
C.
∃n0∈N∗\exists n_0\in \mathbf{N}^*，f(n0)∉N∗f(n_0)\notin \mathbf{N}^* 且 f(n0)>n0f(n_0) > n_0
D.
∃n0∈N∗\exists n_0\in \mathbf{N}^*，f(n0)∉N∗f(n_0)\notin \mathbf{N}^* 或 f(n0)>n0f(n_0) > n_0

2015 · 浙江 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05解析几何★★★☆☆
如图，设抛物线 y2=4xy^{2} = 4x 的焦点为 FF，不经过焦点的直线上有三个不同的点 AA，BB，CC，其中点 AA，BB 在抛物线上，点 CC 在 yy 轴上，则 △BCF\triangle BCF 与 △ACF\triangle ACF 的面积之比是（ ）
A.
∣BF∣−1∣AF∣−1\dfrac{|BF| - 1}{|AF| - 1}
B.
∣BF∣2−1∣AF∣2−1\dfrac{|BF|^2 - 1}{|AF|^2 - 1}
C.
∣BF∣+1∣AF∣+1\dfrac{|BF| + 1}{|AF| + 1}
D.
∣BF∣2+1∣AF∣2+1\dfrac{|BF|^2 + 1}{|AF|^2 + 1}

2015 · 浙江 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06集合与逻辑基础★★★☆☆
设 AA，BB 是有限集，定义： d(A,B)=card⁡(A∪B)−card⁡(A∩B)d(A, B) = \operatorname{card}(A \cup B) - \operatorname{card}(A \cap B)，其中 card⁡(A)\operatorname{card}(A) 表示有限集 AA 中元素的个数.
① 对任意有限集 AA，BB，“A≠BA \neq B”是“d(A,B)>0d(A, B) > 0”的充分必要条件； ② 对任意有限集 AA，BB，CC，d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C)d(A, C) \le d(A, B) + d(B, C).
（ ）
A.
命题①和命题②都成立
B.
命题①和命题②都不成立
C.
命题①成立，命题②不成立
D.
命题①不成立，命题②成立

2015 · 浙江 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07函数与初等函数★★★☆☆
存在函数 f(x)f(x) 满足：对于任意 x∈Rx \in \mathbf{R} 都有（ ）
A.
f(sin⁡2x)=sin⁡xf(\sin 2x) = \sin x
B.
f(sin⁡2x)=x2+xf(\sin 2x) = x^2 + x
C.
f(x2+1)=∣x+1∣f(x^{2} + 1) = |x + 1|
D.
f(x2+2x)=∣x+1∣f(x^{2} + 2x) = |x + 1|

2015 · 浙江 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08立体几何初步★★★★☆
如图，已知 △ABC\triangle ABC，DD 是 ABAB 的中点，沿直线 CDCD 将 △ACD\triangle ACD 翻折成 △A′CD\triangle A'CD，所成二面角 A′−CD−BA' - CD - B 的平面角为 α\alpha，则（ ）
A.
∠A′DB⩽α\angle A'DB \leqslant \alpha
B.
∠A′DB⩾α\angle A'DB \geqslant \alpha
C.
∠A′CB⩽α\angle A'CB \leqslant \alpha
D.
∠A′CB⩾α\angle A'CB \geqslant \alpha

2015 · 浙江 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09解析几何★☆☆☆☆
双曲线 x22−y2=1\frac{x^2}{2} - y^2 = 1 的焦距是______，渐近线方程是______.

2015 · 浙江 · 理 · 第 9 题 · 填空题

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10函数与初等函数★★☆☆☆
已知函数
f(x)={x+2x−3,x⩾1,lg⁡(x2+1),x<1,f(x) = \begin{cases} x + \frac{2}{x} - 3, & x \geqslant 1,\\ \lg (x^2 + 1), & x < 1, \end{cases}
则 f(f(−3))=‾f(f(-3)) =\underline{\hspace{2em}}，f(x)f(x) 的最小值是______.

2015 · 浙江 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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11三角函数★★☆☆☆
函数 f(x)=sin⁡2x+sin⁡xcos⁡x+1f(x) = \sin^2 x + \sin x \cos x + 1 的最小正周期是______，单调递减区间是______.

2015 · 浙江 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12指数函数与对数函数★★☆☆☆
若 a=log⁡43a = \log_{4} 3，则 2a+2−a=‾2^a + 2^{-a} =\underline{\hspace{2em}}.

2015 · 浙江 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13立体几何初步★★★☆☆
如图，在三棱锥 A−BCDA - BCD 中，AB=AC=BD=CD=3AB = AC = BD = CD = 3，AD=BC=2AD = BC = 2，点 MM，NN 分别为 ADAD，BCBC 的中点，则异面直线 ANAN，CMCM 所成的角的余弦值是______.

2015 · 浙江 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14不等式★★★★☆
若实数 xx，yy 满足 x2+y2⩽1x^{2} + y^{2} \leqslant 1，则 ∣2x+y−2∣+∣6−x−3y∣\left|2x + y - 2\right| + \left|6 - x - 3y\right| 的最小值是______.

2015 · 浙江 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15立体几何初步★★★★☆
已知 e1\boldsymbol{e}_{1}，e2\boldsymbol{e}_{2} 是空间单位向量，e1⋅e2=12\boldsymbol{e}_{1} \cdot \boldsymbol{e}_{2} = \frac{1}{2}，若空间向量 b\boldsymbol{b} 满足 b⋅e1=2\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{e}_{1} = 2，b⋅e2=52\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{e}_{2} = \frac{5}{2}，且对于任意 xx，y∈Ry \in \mathbf{R}，∣b−(xe1+ye2)∣⩾∣b−(x0e1+y0e2)∣=1\left|\boldsymbol{b} - (x \boldsymbol{e}_{1} + y \boldsymbol{e}_{2})\right| \geqslant \left|\boldsymbol{b} - (x_{0} \boldsymbol{e}_{1} + y_{0} \boldsymbol{e}_{2})\right| = 1（x0x_{0}，y0∈Ry_{0} \in \mathbf{R}），则 x0=x_{0} =______，y0=y_{0} =______，∣b∣=|\boldsymbol{b}| =______.

2015 · 浙江 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，内角 AA，BB，CC 所对的边分别是 aa，bb，cc. 已知 A=π4A = \frac{\pi}{4}，b2−a2=12c2b^2 - a^2 = \frac{1}{2} c^2.
(1) 求 tan⁡C\tan C 的值； (2) 若 △ABC\triangle ABC 的面积为 3，求 bb 的值.

2015 · 浙江 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★★☆
如图，在三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 中，∠BAC=90∘\angle BAC = 90^{\circ}，AB=AC=2AB = AC = 2，A1A=4A_{1}A = 4，A1A_{1} 在底面 ABCABC 的射影为 BCBC 的中点，DD 是 B1C1B_{1}C_{1} 的中点.
(1) 证明： A1D⊥A_{1}D \perp 平面 A1BCA_{1}BC； (2) 求二面角 A1−BD−B1A_{1} - BD - B_{1} 的平面角的余弦值.

2015 · 浙江 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18函数与初等函数★★★★★
已知函数 f(x)=x2+ax+bf(x) = x^2 + ax + b （aa，b∈Rb \in \mathbf{R}），记 M(a,b)M(a, b) 是 ∣f(x)∣|f(x)| 在区间 [−1,1][-1, 1] 上的最大值.
(1) 证明：当 ∣a∣⩾2|a| \geqslant 2 时，M(a,b)⩾2M(a, b) \geqslant 2； (2) 当 aa，bb 满足 M(a,b)⩽2M(a, b) \leqslant 2 时，求 ∣a∣+∣b∣|a| + |b| 的最大值.

2015 · 浙江 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
已知椭圆 x22+y2=1\frac{x^2}{2} + y^2 = 1 上两个不同的点 AA，BB 关于直线 y=mx+12y = mx + \frac{1}{2} 对称.
(1) 求实数 mm 的取值范围. (2) 求 △AOB\triangle AOB 面积的最大值（OO 为坐标原点）.

2015 · 浙江 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20数列★★★★★
已知数列 {an}\{a_{n}\} 满足 a1=12a_1 = \frac{1}{2} 且 an+1=an−an2a_{n + 1} = a_n - a_n^2（n∈N∗n\in \mathbf{N}^*）.
(1) 证明： 1⩽anan+1⩽21 \leqslant \frac{a_n}{a_{n+1}} \leqslant 2（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*）； (2) 设数列 {an2}\{a_n^2\} 的前 nn 项和为 SnS_n，证明： 12(n+2)⩽Snn⩽12(n+1)\frac{1}{2(n+2)} \leqslant \frac{S_n}{n} \leqslant \frac{1}{2(n+1)} （n∈N∗n \in \mathbf{N}^*）.

2015 · 浙江 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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