已知 $a > 0$，数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1 = a$，$a_{n+1} = a + \frac{1}{a_n}$，$n = 1$，$2$，$\ldots$.

(1) 已知数列 $\{a_n\}$ 极限存在且大于零，求 $A = \displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n$（将 $A$ 用 $a$ 表示）； (2) 设 $b_n = a_n - A$，$n = 1$，$2$，$\cdots$，证明： $b_{n+1} = -\frac{b_n}{A(b_n + A)}$. (3) 若 $|b_n| \leqslant \frac{1}{2^n}$ 对 $n = 1$，$2$，$\cdots$ 都成立，求 $a$ 的取值范围.