设函数 $f(x)=\mathrm{e}^{2x}-a\ln x$.

(1) 讨论 $f(x)$ 的导函数 $f'(x)$ 的零点的个数； (2) 证明：当 $a>0$ 时，$f(x)\geqslant2a+a\ln\frac{2}{a}$.