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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 A={x∣x=3n+2,n∈N}A = \{x \mid x = 3n + 2, n \in \mathbf{N}\}，B={6,8,10,12,14}B = \{6, 8, 10, 12, 14\}，则集合 A∩BA \cap B 中的元素个数为（ ）
A.
55
B.
44
C.
33
D.
22

2015 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02平面向量★☆☆☆☆
已知点 A(0,1)A(0,1)，B(3,2)B(3,2)，向量 AC→=(−4,−3)\overrightarrow{AC} = (-4, -3)，则向量 BC→=\overrightarrow{BC} =（ ）
A.
(−7,−4)(-7, -4)
B.
(7,4)(7, 4)
C.
(−1,4)(-1, 4)
D.
(1,4)(1, 4)

2015 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03复数★☆☆☆☆
已知复数 zz 满足 (z−1)i=1+i(z - 1)\mathrm{i} = 1 + \mathrm{i}，则 z=z =（ ）
A.
−2−i-2 - \mathrm{i}
B.
−2+i-2 + \mathrm{i}
C.
2−i2 - \mathrm{i}
D.
2+i2 + \mathrm{i}

2015 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04概率与统计★★☆☆☆
如果 33 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这 33 个数为一组勾股数，从 11，22，33，44，55 中任取 33 个不同的数，则这 33 个数构成一组勾股数的概率为（ ）
A.
310\frac{3}{10}
B.
15\frac{1}{5}
C.
110\frac{1}{10}
D.
120\frac{1}{20}

2015 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05解析几何★★★☆☆
已知椭圆 EE 的中心为坐标原点，离心率为 12\frac{1}{2}，EE 的右焦点与抛物线 C:y2=8xC: y^2 = 8x 的焦点重合，AA，BB 是 CC 的准线与 EE 的两个交点，则 ∣AB∣=|AB| =（ ）
A.
33
B.
66
C.
99
D.
1212

2015 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06立体几何初步★★☆☆☆
《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周8 尺8\text{~尺}，高5 尺5\text{~尺}. 问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8 尺8\text{~尺}，米堆的高为5 尺5\text{~尺}，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1 斛1\text{~斛}米的体积约为1.62 立方尺1.62\text{~立方尺}，圆周率约为33，估算出堆放的米约有（ ）
A.
14 斛14\text{~斛}
B.
22 斛22\text{~斛}
C.
36 斛36\text{~斛}
D.
66 斛66\text{~斛}

2015 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07数列★★☆☆☆
已知 {an}\{a_{n}\} 是公差为 11 的等差数列，SnS_{n} 为 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和. 若 S8=4S4S_{8}=4S_{4}，则 a10=a_{10}=（ ）
A.
172\frac{17}{2}
B.
192\frac{19}{2}
C.
1010
D.
1212

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08三角函数★★★☆☆
函数 f(x)=cos⁡(ωx+φ)f(x) = \cos(\omega x + \varphi) 的部分图象如图所示，则 f(x)f(x) 的单调递减区间为（ ）
A.
(kπ−14,kπ+34)\left(k\pi -\frac{1}{4},k\pi +\frac{3}{4}\right)，k∈Zk\in \mathbf{Z}
B.
(2kπ−14,2kπ+34)\left(2k\pi -\frac{1}{4},2k\pi +\frac{3}{4}\right)，k∈Zk\in \mathbf{Z}
C.
(k−14,k+34)\left(k - \frac{1}{4},k +\frac{3}{4}\right)，k∈Zk\in \mathbf{Z}
D.
(2k−14,2k+34)\left(2k -\frac{1}{4},2k +\frac{3}{4}\right)，k∈Zk\in \mathbf{Z}

2015 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09数列★★☆☆☆
执行如图的程序框图，如果输入的 t=0.01t = 0.01，则输出的 n=n =（ ）
A.
55
B.
66
C.
77
D.
88

2015 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★☆☆☆
已知函数
f(x)={2x−1−2,x⩽1,−log⁡2(x+1),x>1,f(x) = \begin{cases} 2^{x - 1} - 2, & x \leqslant 1,\\ -\log_2(x + 1), & x > 1, \end{cases}
且 f(a)=−3f(a) = -3，则 f(6−a)=f(6-a)=（ ）
A.
−74-\frac{7}{4}
B.
−54-\frac{5}{4}
C.
−34-\frac{3}{4}
D.
−14-\frac{1}{4}

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11立体几何初步★★★☆☆
圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为rr）组成一个几何体. 该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示. 若该几何体的表面积为 16+20π16 + 20\pi，则 r=r =（ ）
A.
11
B.
22
C.
44
D.
88

2015 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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12函数与初等函数★★★☆☆
设函数 y=f(x)y = f(x) 的图象与 y=2x+ay = 2^{x + a} 的图象关于直线 y=−xy = -x 对称，且 f(−2)+f(−4)=1f(-2) + f(-4) = 1，则 a=a =（ ）
A.
−1-1
B.
11
C.
22
D.
44

2015 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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13数列★☆☆☆☆
数列{an}\{a_{n}\} 中 a1=2a_{1}=2，an+1=2ana_{n+1}=2a_{n}，SnS_{n} 为{an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和，若 Sn=126S_{n}=126，则 n=n=______.

2015 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14导数及其应用★★☆☆☆
已知函数 f(x)=ax3+x+1f(x) = ax^3 + x + 1 的图象在点 (1,f(1))(1, f(1)) 处的切线过点 (2,7)(2, 7)，则 a=a =______.

2015 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15不等式★★☆☆☆
若 xx，yy 满足约束条件
{x+y−2⩽0,x−2y+1⩽0,2x−y+2⩾0,\begin{cases} x + y - 2 \leqslant 0,\\ x - 2y + 1 \leqslant 0,\\ 2x - y + 2 \geqslant 0, \end{cases}
则 z=3x+yz = 3x + y 的最大值为______.

2015 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16解析几何★★★★☆
已知 FF 是双曲线 C:x2−y28=1C: x^{2} - \frac{y^{2}}{8} = 1 的右焦点，PP 是 CC 左支上一点，A(0,66)A(0,6\sqrt{6})，当 △APF\triangle APF 周长最小时，该三角形的面积为______.

2015 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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17三角函数★★☆☆☆
已知 aa，bb，cc 分别是 △ABC\triangle ABC 内角 AA，BB，CC 的对边，sin⁡2B=2sin⁡Asin⁡C\sin^{2} B = 2 \sin A \sin C.
(1) 若 a=ba = b，求 cos⁡B\cos B； (2) 若 B=90∘B = 90^{\circ}，且 a=2a = \sqrt{2}，求 △ABC\triangle ABC 的面积.

2015 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★★☆
如图，四边形 ABCDABCD 为菱形，GG 为 ACAC 与 BDBD 的交点，BE⊥BE \perp 平面 ABCDABCD.
(1) 证明：平面 AEC⊥AEC \perp 平面 BEDBED； (2) 若 ∠ABC=120∘\angle ABC = 120^{\circ}，AE⊥ECAE \perp EC，三棱锥 E−ACDE - ACD 的体积为 63\frac{\sqrt{6}}{3}，求该三棱锥的侧面积.

2015 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19概率与统计★★★☆☆
某公司为确定下一年度投入某产品的宣传费，需了解年宣传费 xx（单位：千元\text{千元}）对年销售量 yy（单位：t\mathrm{t}）和年利润 zz（单位：千元\text{千元}）的影响. 对近 88 年的年宣传费 xix_i 和年销售量 yiy_i（i=1i = 1，22，⋯\cdots，88）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
表中 wi=xiw_i = \sqrt{x_i}，w‾=18∑i=18wi\overline{w} = \frac{1}{8}\sum_{i=1}^{8}w_i.
(1) 根据散点图判断，y=a+bxy = a + bx 与 y=c+dxy = c + d\sqrt{x} 哪一个适宜作为年销售量 yy 关于年宣传费 xx 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） (2) 根据（1）的判断结果及表中数据，建立 yy 关于 xx 的回归方程； (3) 已知这种产品的年利润 zz 与 xx，yy 的关系为 z=0.2y−xz = 0.2y - x. 根据（2）的结果回答下列问题：
(i) 年宣传费 x=49x = 49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？ (ii) 年宣传费 xx 为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据 (u1,v1)(u_{1},v_{1})，(u2,v2)(u_{2},v_{2})，…\dots，(un,vn)(u_{n},v_{n})，其回归直线 v=α+βuv = \alpha + \beta u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 β^=∑i=1n(ui−uˉ)(vi−vˉ)∑i=1n(ui−uˉ)2\hat{\beta} = \frac{\sum_{i=1}^{n}(u_i - \bar{u})(v_i - \bar{v})}{\sum_{i=1}^{n}(u_i - \bar{u})^2}，α^=vˉ−β^uˉ\hat{\alpha} = \bar{v} - \hat{\beta}\bar{u}.

2015 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=e2x−aln⁡xf(x)=\mathrm{e}^{2x}-a\ln x.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的导函数 f′(x)f'(x) 的零点的个数； (2) 证明：当 a>0a>0 时，f(x)⩾2a+aln⁡2af(x)\geqslant2a+a\ln\frac{2}{a}.

2015 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
已知过点 A(0,1)A(0,1) 且斜率为 kk 的直线 ll 与圆 C:(x−2)2+(y−3)2=1C: (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 1 交于 MM，NN 两点.
(1) 求 kk 的取值范围； (2) 若 OM→⋅ON→=12\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{ON}=12，其中 OO 为坐标原点，求 ∣MN∣|MN|.

2015 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★☆
如图，ABAB 是 ⊙O\odot O 的直径，ACAC 是 ⊙O\odot O 的切线，BCBC 交 ⊙O\odot O 于点 EE.
(1) 若 DD 为 ACAC 的中点，证明：DEDE 是 ⊙O\odot O 的切线； (2) 若 OA=3CEOA = \sqrt{3} CE，求 ∠ACB\angle ACB 的大小.

2015 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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23解析几何★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，直线 C1:x=−2C_1: x = -2，圆 C2:(x−1)2+(y−2)2=1C_2: (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 1，以坐标原点为极点，xx 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1) 求 C1C_{1}，C2C_{2} 的极坐标方程； (2) 若直线 C3C_3 的极坐标方程为 θ=π4\theta = \frac{\pi}{4}（ρ∈R\rho \in \mathbf{R}），设 C2C_2 与 C3C_3 的交点为 MM，NN，求 △C2MN\triangle C_2MN 的面积.

2015 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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24不等式★★★★☆
已知函数 f(x)=∣x+1∣−2∣x−a∣f(x) = |x + 1| - 2|x - a|，a>0a > 0.
(1) 当 a=1a = 1 时，求不等式 f(x)>1f(x) > 1 的解集； (2) 若 f(x)f(x) 的图象与 xx 轴围成的三角形面积大于 66，求 aa 的取值范围.

2015 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 24 题 · 解答题

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