已知函数 $f(x) = \frac{1 - x}{1 + x^{2}} \mathrm{e}^x$.

(1) 求 $f(x)$ 的单调区间； (2) 证明：当 $f(x_{1}) = f(x_{2})$ （$x_{1} \neq x_{2}$）时，$x_{1} + x_{2} < 0$.