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01复数★☆☆☆☆
复数 z=i⋅(1+i)z = \mathrm{i} \cdot (1 + \mathrm{i}) （i\mathrm{i} 为虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）
A.
第一象限
B.
第二象限
C.
第三象限
D.
第四象限

2013 · 湖南 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02集合与逻辑基础★☆☆☆☆
“1<x<21 < x < 2”是“x<2x < 2”成立的（ ）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2013 · 湖南 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03概率与统计★☆☆☆☆
某工厂甲，乙，丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为 120 件120\text{ 件}，80 件80\text{ 件}，60 件60\text{ 件}. 为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为 nn 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了 3 件3\text{ 件}，则 n=n=（ ）
A.
9
B.
10
C.
12
D.
13

2013 · 湖南 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04函数与初等函数★★☆☆☆
已知 f(x)f(x) 是奇函数，g(x)g(x) 是偶函数，且 f(−1)+g(1)=2f(-1)+g(1)=2，f(1)+g(−1)=4f(1)+g(-1)=4，则 g(1)g(1) 等于（ ）
A.
4
B.
3
C.
2
D.
1

2013 · 湖南 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05三角函数★★☆☆☆
在锐角 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB 所对的边长分别为 aa，bb. 若 2asin⁡B=3b2a \sin B = \sqrt{3} b，则角 AA 等于（ ）
A.
π3\frac{\pi}{3}
B.
π4\frac{\pi}{4}
C.
π6\frac{\pi}{6}
D.
π12\frac{\pi}{12}

2013 · 湖南 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06函数与初等函数★★★★☆
函数 f(x)=ln⁡xf(x) = \ln x 的图象与函数 g(x)=x2−4x+4g(x) = x^2 - 4x + 4 的图象的交点个数为（ ）
A.
0
B.
1
C.
2
D.
3

2013 · 湖南 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07立体几何初步★★★☆☆
已知正方体的棱长为 1，其俯视图是一个面积为 1 的正方形，侧视图是一个面积为 2\sqrt{2} 的矩形，则该正方体的正视图的面积等于（ ）
A.
32\frac{\sqrt{3}}{2}
B.
1
C.
2+12\frac{\sqrt{2} + 1}{2}
D.
2\sqrt{2}

2013 · 湖南 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08平面向量★★★☆☆
已知 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 是单位向量，a⋅b=0\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 0. 若向量 c\boldsymbol{c} 满足 ∣c−a−b∣=1|\boldsymbol{c} - \boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}| = 1，则 ∣c∣|\boldsymbol{c}| 的最大值为（ ）
A.
2−1\sqrt{2} - 1
B.
2\sqrt{2}
C.
2+1\sqrt{2} + 1
D.
2+2\sqrt{2} + 2

2013 · 湖南 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09概率与统计★★★☆☆
已知事件“在矩形 ABCDABCD 的边 CDCD 上随机取一点 PP，使 △APB\triangle APB 的最大边是 ABAB”发生的概率为 12\frac{1}{2}，则 ADAB=\frac{AD}{AB} =（ ）
A.
12\frac{1}{2}
B.
14\frac{1}{4}
C.
32\frac{\sqrt{3}}{2}
D.
74\frac{\sqrt{7}}{4}

2013 · 湖南 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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10集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 U={2,3,6,8}U = \{2, 3, 6, 8\}，A={2,3}A = \{2, 3\}，B={2,6,8}B = \{2, 6, 8\}，则 ∁UA∩B=‾\complement_U A \cap B =\underline{\hspace{2em}}.

2013 · 湖南 · 文 · 第 10 题 · 填空题

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11解析几何★★☆☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，若直线
l1:{x=2s+1,y=s,l_{1}: \begin{cases} x = 2s + 1,\\ y = s, \end{cases}
（ss 为参数）和直线
l2:{x=at,y=2t−1,l_{2}: \begin{cases} x = at,\\ y = 2t - 1, \end{cases}
（tt 为参数）平行，则常数 aa 的值为______.

2013 · 湖南 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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12数列★☆☆☆☆
执行如图所示的程序框图，如果输入 a=1a = 1，b=2b = 2，则输出的 aa 的值为______.

2013 · 湖南 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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13不等式★★☆☆☆
若变量 xx，yy 满足约束条件
{x+2y⩽8,0⩽x⩽4,0⩽y⩽3,\begin{cases} x + 2y \leqslant 8,\\ 0 \leqslant x \leqslant 4,\\ 0 \leqslant y \leqslant 3, \end{cases}
则 x+yx + y 的最大值为______.

2013 · 湖南 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14解析几何★★★☆☆
设 F1F_{1}，F2F_{2} 是双曲线 C:x2a2−y2b2=1C: \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 （a>0a > 0，b>0b > 0）的两个焦点. 若在 CC 上存在一点 PP，使 PF1⊥PF2PF_{1} \perp PF_{2}，且 ∠PF1F2=30∘\angle PF_{1}F_{2} = 30^{\circ}，则 CC 的离心率为______.

2013 · 湖南 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15数列★★★★☆
对于 E={a1,a2,⋯ ,a100}E = \{a_1, a_2, \cdots, a_{100}\} 的子集 X={ai1,ai2,⋯ ,aik}X = \{a_{i_1}, a_{i_2}, \cdots, a_{i_k}\}，定义 XX 的“特征数列”为 x1x_1，x2x_2，⋯\cdots，x100x_{100}，其中 xi1=xi2=⋯=xik=1x_{i_1} = x_{i_2} = \cdots = x_{i_k} = 1，其余项均为 00，例如：子集 {a2,a3}\{a_2, a_3\} 的“特征数列”为 00，11，11，00，00，⋯\cdots，00.
(1) 子集 {a1,a3,a5}\{a_{1}, a_{3}, a_{5}\} 的“特征数列”的前 3 项和等于______. (2) 若 EE 的子集 PP 的“特征数列” p1p_{1}，p2p_{2}，⋯\cdots，p100p_{100} 满足 p1=1p_{1}=1，pi+pi+1=1p_{i}+p_{i+1}=1，1⩽i⩽991\leqslant i\leqslant99；EE 的子集 QQ 的“特征数列” q1q_{1}，q2q_{2}，⋯\cdots，q100q_{100} 满足 q1=1q_{1}=1，qj+qj+1+qj+2=1q_{j}+q_{j+1}+q_{j+2}=1，1⩽j⩽981\leqslant j\leqslant98，则 P∩QP\cap Q 的元素个数为______.

2013 · 湖南 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=cos⁡x⋅cos⁡(x−π3)f(x) = \cos x \cdot \cos \left(x - \frac{\pi}{3}\right).
(1) 求 f(2π3)f\left(\frac{2\pi}{3}\right) 的值； (2) 求使 f(x)<14f(x) < \frac{1}{4} 成立的 xx 的取值集合.

2013 · 湖南 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，在直棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 中，∠BAC=90∘\angle BAC = 90^{\circ}，AB=AC=2AB = AC = \sqrt{2}，AA1=3AA_{1} = 3，DD 是 BCBC 的中点，点 EE 在棱 BB1BB_{1} 上运动.
(1) 证明：AD⊥C1EAD \perp C_{1}E； (2) 当异面直线 ACAC，C1EC_1E 所成的角为 60∘60^\circ 时，求三棱锥 C1−A1B1EC_1 - A_1B_1E 的体积.

2013 · 湖南 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
某人在如图所示的直角边长为 4 米4\text{ 米} 的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物. 根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量 YY（单位：kg\mathrm{kg}）与它的“相近”作物株数 XX 之间的关系如下表所示：
XX11223344
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过 1 米1\text{ 米}.
(1) 完成下表，并求所种作物的平均年收获量；
YY5151484845454242
(2) 在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为 48 kg48 \mathrm{~kg} 的概率.

2013 · 湖南 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19数列★★★☆☆
设 SnS_{n} 为数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和. 已知 a1≠0a_1 \neq 0，2an−a1=S1⋅Sn2a_{n} - a_1 = S_1 \cdot S_n，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*.
(1) 求 a1a_{1}，a2a_{2}，并求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 求数列 {nan}\{na_{n}\} 的前 nn 项和.

2013 · 湖南 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
已知 F1F_{1}，F2F_{2} 分别是椭圆 E:x25+y2=1E: \frac{x^{2}}{5} + y^{2} = 1 的左，右焦点，F1F_{1}，F2F_{2} 关于直线 x+y−2=0x + y - 2 = 0 的对称点是圆 CC 的一条直径的两个端点.
(1) 求圆 CC 的方程； (2) 设过点 F2F_{2} 的直线 ll 被椭圆 EE 和圆 CC 所截得的弦长分别为 aa，bb. 当 abab 最大时，求直线 ll 的方程.

2013 · 湖南 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=1−x1+x2exf(x) = \frac{1 - x}{1 + x^{2}} \mathrm{e}^x.
(1) 求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 证明：当 f(x1)=f(x2)f(x_{1}) = f(x_{2}) （x1≠x2x_{1} \neq x_{2}）时，x1+x2<0x_{1} + x_{2} < 0.

2013 · 湖南 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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