设函数 $f(x) = \mathrm{e}^{x} - ax - 2$.

(1) 求 $f(x)$ 的单调区间； (2) 若 $a = 1$，$k$ 为整数，且当 $x > 0$ 时，$(x-k)f'(x) + x + 1 > 0$，求 $k$ 的最大值.