已知函数 $f(x) = a\left(1 - 2\left|x - \frac{1}{2}\right|\right)$，$a$ 为常数且 $a > 0$.

(1) 证明：函数 $f(x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{1}{2}$ 对称； (2) 若 $x_0$ 满足 $f(f(x_0)) = x_0$，且 $f(x_0) \neq x_0$，则称 $x_0$ 为函数 $f(x)$ 的二阶周期点. 如果 $f(x)$ 有两个二阶周期点 $x_1$，$x_2$，试确定 $a$ 的取值范围； (3) 对于第 2 问中的 $x_1$，$x_2$ 和 $a$，设 $x_3$ 为函数 $f(f(x))$ 的最大值点，$A(x_1, f(f(x_1)))$，$B(x_2, f(f(x_2)))$，$C(x_3, 0)$，记 $\triangle ABC$ 的面积为 $S(a)$，讨论 $S(a)$ 的单调性.