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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 M={1,2,zi}M = \{1, 2, z\mathrm{i}\}，i\mathrm{i} 为虚数单位，N={3,4}N = \{3, 4\}，M∩N={4}M \cap N = \{4\}，则复数 zz 等于（ ）
A.
−2i-2\mathrm{i}
B.
2i2\mathrm{i}
C.
−4i-4\mathrm{i}
D.
4i4\mathrm{i}

2013 · 江西 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02函数与初等函数★☆☆☆☆
函数 y=xln⁡(1−x)y = \sqrt{x} \ln (1 - x) 的定义域为（ ）
A.
(0,1)(0,1)
B.
[0,1)[0,1)
C.
(0,1](0,1]
D.
[0,1][0,1]

2013 · 江西 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03数列★★☆☆☆
等比数列 xx，3x+33x + 3，6x+66x + 6，⋯\cdots 的第四项等于（ ）
A.
−24-24
B.
0
C.
12
D.
24

2013 · 江西 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04概率与统计★☆☆☆☆
总体由编号为 01，02，…，19，20 的 20 个个体组成. 利用下面的随机数表选取 5 个个体，选取方法从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第 5 个个体的编号为（ ）
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
A.
08
B.
07
C.
02
D.
01

2013 · 江西 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05计数原理与组合数学★★☆☆☆
(x2−2x3)5\left(x^{2} - \frac{2}{x^{3}}\right)^{5} 展开式中的常数项为（ ）
A.
80
B.
−80-80
C.
40
D.
−40-40

2013 · 江西 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06导数及其应用★★☆☆☆
若 S1=∫12x2dxS_{1} = \int_{1}^{2} x^{2} \mathrm{d}x，S2=∫121xdxS_{2} = \int_{1}^{2} \frac{1}{x} \mathrm{d}x，S3=∫12exdxS_{3} = \int_{1}^{2} \mathrm{e}^{x} \mathrm{d}x，则 S1S_{1}，S2S_{2}，S3S_{3} 的大小关系为（ ）
A.
S1<S2<S3S_{1} < S_{2} < S_{3}
B.
S2<S1<S3S_{2} < S_{1} < S_{3}
C.
S2<S3<S1S_{2} < S_{3} < S_{1}
D.
S3<S2<S1S_{3} < S_{2} < S_{1}

2013 · 江西 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07计数原理与组合数学★★★☆☆
阅读如图所示程序框图，如果输出 i=5i = 5，那么在空白矩形框中应填入的语句为（ ）
A.
S=2∗i−2S = 2 * i - 2
B.
S=2∗i−1S = 2 * i - 1
C.
S=2∗iS = 2 * i
D.
S=2∗i+4S = 2 * i + 4

2013 · 江西 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08立体几何初步★★★☆☆
如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 α\alpha 上，且 AB∥CDAB \parallel CD，正方体的六个面所在的平面与直线 CECE，EFEF 相交的平面个数分别记为 mm，nn，那么 m+n=m + n =（ ）
A.
8
B.
9
C.
10
D.
11

2013 · 江西 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09解析几何★★★☆☆
过点 (2,0)(\sqrt{2}, 0) 引直线 ll 与曲线 y=1−x2y = \sqrt{1 - x^{2}} 相交于 AA，BB 两点，OO 为坐标原点，当 △AOB\triangle AOB 的面积取最大值时，直线 ll 的斜率等于（ ）
A.
33\frac{\sqrt{3}}{3}
B.
−33-\frac{\sqrt{3}}{3}
C.
±33\pm \frac{\sqrt{3}}{3}
D.
−3-\sqrt{3}

2013 · 江西 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★★★☆
如图，半径为 1 的半圆 OO 与等边三角形 ABCABC 夹在两平行线 l1l_{1}，l2l_{2} 之间，l∥l1l \parallel l_{1}，ll 与半圆相交于 FF，GG 两点，与三角形 ABCABC 两边相交于 EE，DD 两点. 设弧 FGFG 的长为 xx（0<x<π0 < x < \pi），y=EB+BC+CDy = EB + BC + CD，若 ll 从 l1l_{1} 平行移动到 l2l_{2}，则函数 y=f(x)y = f(x) 的图象大致是（ ）
A.
B.
C.
D.

2013 · 江西 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11三角函数★★☆☆☆
函数 y=sin⁡2x+23sin⁡2xy = \sin 2x + 2\sqrt{3}\sin^{2}x 的最小正周期 TT 为______.

2013 · 江西 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12平面向量★★☆☆☆
e1\boldsymbol{e}_{1}，e2\boldsymbol{e}_{2} 为单位向量，且 e1\boldsymbol{e}_{1}，e2\boldsymbol{e}_{2} 的夹角为 π3\frac{\pi}{3}，若 a=e1+3e2\boldsymbol{a} = \boldsymbol{e}_{1} + 3\boldsymbol{e}_{2}，b=2e1\boldsymbol{b} = 2\boldsymbol{e}_{1}，则向量 a\boldsymbol{a} 在 b\boldsymbol{b} 方向上的射影为______.

2013 · 江西 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13导数及其应用★★☆☆☆
设函数 f(x)f(x) 在 (0,+∞)(0, +\infty) 内可导，且 f(ex)=x+exf(\mathrm{e}^x) = x + \mathrm{e}^x，则 f′(1)=f'(1) =______.

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14解析几何★★★☆☆
抛物线 x2=2pyx^{2} = 2py（p>0p > 0）的焦点为 FF，其准线与双曲线 x23−y23=1\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{3} = 1 相交于 AA，BB 两点，若 △ABF\triangle ABF 为等边三角形，则 p=p =______.

2013 · 江西 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15解析几何★★☆☆☆
设曲线 CC 的参数方程为
{x=t,y=t2\begin{cases} x = t,\\ y = t^2 \end{cases}
（tt 为参数），若以直角坐标系的原点为极点，xx 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线 CC 的极坐标方程为______.

2013 · 江西 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16不等式★★☆☆☆
在实数范围内，不等式 ∣∣x−2∣−1∣⩽1||x - 2| - 1| \leqslant 1 的解集为______.

2013 · 江西 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc. 已知 cos⁡C+(cos⁡A−3sin⁡A)cos⁡B=0\cos C + (\cos A - \sqrt{3}\sin A)\cos B = 0.
(1) 求角 BB 的大小； (2) 若 a+c=1a + c = 1，求 bb 的取值范围.

2013 · 江西 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18数列★★★★☆
正项数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和 SnS_{n} 满足 Sn2−(n2+n−1)Sn−(n2+n)=0S_{n}^{2} - (n^{2} + n - 1)S_{n} - (n^{2} + n) = 0.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 令 bn=n+1(n+2)2an2b_{n} = \frac{n + 1}{(n + 2)^2 a_{n}^{2}}，数列 {bn}\{b_{n}\} 的前 nn 项和为 TnT_{n}. 证明：对于任意 n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，都有 Tn<564T_{n} < \frac{5}{64}.

2013 · 江西 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19概率与统计★★★☆☆
小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队，游戏规则为：以 OO 为起点，再从 A1A_{1}，A2A_{2}，A3A_{3}，A4A_{4}，A5A_{5}，A6A_{6}，A7A_{7}，A8A_{8}（如图）这 8 个点中任取两点，分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为 XX. 若 X=0X = 0 就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队.
(1) 求小波参加学校合唱团的概率； (2) 求 XX 的分布列和数学期望.

2013 · 江西 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20立体几何初步★★★☆☆
如图，四棱锥 P−ABCDP - ABCD 中，PA⊥PA \perp 平面 ABCDABCD，EE 为 BDBD 的中点，GG 为 PDPD 的中点，△DAB≅△DCB\triangle DAB \cong \triangle DCB，EA=EB=AB=1EA = EB = AB = 1，PA=32PA = \frac{3}{2}，连接 CECE 并延长交 ADAD 于 FF.
(1) 求证：AD⊥AD \perp 平面 CFGCFG； (2) 求平面 BCPBCP 与平面 DCPDCP 的夹角的余弦值.

2013 · 江西 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
如图，椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）经过点 P(1,32)P\left(1, \frac{3}{2}\right)，离心率 e=12e = \frac{1}{2}，直线 ll 的方程为 x=4x = 4.
(1) 求椭圆 CC 的方程； (2) ABAB 是经过右焦点 FF 的任一弦（不经过点 PP），设直线 ABAB 与直线 ll 相交于点 MM，记 PAPA，PBPB，PMPM 的斜率分别为 k1k_{1}，k2k_{2}，k3k_{3}. 问：是否存在常数 λ\lambda，使得 k1+k2=λk3k_{1} + k_{2} = \lambda k_{3}？若存在，求 λ\lambda 的值；若不存在，请说明理由.

2013 · 江西 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22函数与初等函数★★★★★
已知函数 f(x)=a(1−2∣x−12∣)f(x) = a\left(1 - 2\left|x - \frac{1}{2}\right|\right)，aa 为常数且 a>0a > 0.
(1) 证明：函数 f(x)f(x) 的图象关于直线 x=12x = \frac{1}{2} 对称； (2) 若 x0x_0 满足 f(f(x0))=x0f(f(x_0)) = x_0，且 f(x0)≠x0f(x_0) \neq x_0，则称 x0x_0 为函数 f(x)f(x) 的二阶周期点. 如果 f(x)f(x) 有两个二阶周期点 x1x_1，x2x_2，试确定 aa 的取值范围； (3) 对于第 2 问中的 x1x_1，x2x_2 和 aa，设 x3x_3 为函数 f(f(x))f(f(x)) 的最大值点，A(x1,f(f(x1)))A(x_1, f(f(x_1)))，B(x2,f(f(x2)))B(x_2, f(f(x_2)))，C(x3,0)C(x_3, 0)，记 △ABC\triangle ABC 的面积为 S(a)S(a)，讨论 S(a)S(a) 的单调性.

2013 · 江西 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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