已知抛物线 $C: y^{2} = 2px$（$p > 0$）的焦点为 $F$，$A$ 为 $C$ 上异于原点的任意一点，过点 $A$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于另一点 $B$，交 $x$ 轴的正半轴于点 $D$，且有 $|FA| = |FD|$. 当点 $A$ 的横坐标为 3 时，$\triangle ADF$ 为正三角形.

(1) 求 $C$ 的方程； (2) 若直线 $l_{1} \parallel l$，且 $l_{1}$ 和 $C$ 有且只有一个公共点 $E$，

(i) 证明直线 $AE$ 过定点，并求出定点坐标； (ii) $\triangle ABE$ 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.