已知 $a > 0$，函数 $f(x) = a\mathrm{e}^{x}\cos x$，$x \in [0, +\infty)$. 记 $x_n$ 为 $f(x)$ 的从小到大的第 $n$ 个极值点（$n \in \mathbf{N}^*$）.

(1) 证明：数列 $\{f(x_{n})\}$ 是等比数列； (2) 若对一切 $n \in \mathbf{N}^*$，$x_n \leqslant |f(x_n)|$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.