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01复数★☆☆☆☆
已知 (1−i)2z=1+i\frac{(1 - \mathrm{i})^2}{z} = 1 + \mathrm{i}（i\mathrm{i} 为虚数单位），则复数 z=z =（ ）
A.
1+i1 + \mathrm{i}
B.
1−i1 - \mathrm{i}
C.
−1+i-1 + \mathrm{i}
D.
−1−i-1 - \mathrm{i}

2015 · 湖南 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02概率与统计★★★☆☆
在一次马拉松比赛中，3535 名运动员的成绩（单位：分钟\text{分钟}）茎叶图如图所示.
131300，00，33，44，55，66，66，88，88，88，99
141411，11，11，22，22，22，33，33，44，44，55，55，55，66，66，77，88
151500，11，22，22，33，33，33
若将运动员按成绩由好到差编为 1∼351\sim 35 号，再用系统抽样的方法从中抽取 77 人，则其中成绩在区间[139,151][139, 151]上的运动员的人数是（ ）
A.
33
B.
44
C.
55
D.
66

2015 · 湖南 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03集合与逻辑基础★★☆☆☆
设 x∈Rx \in \mathbf{R}，则“x>1x > 1”是“x3>1x^3 > 1”的（ ）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

2015 · 湖南 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04不等式★★☆☆☆
若变量 xx，yy 满足约束条件
{x+y⩾1,y−x⩽1,x⩽1,\begin{cases} x + y \geqslant 1,\\ y - x \leqslant 1,\\ x \leqslant 1, \end{cases}
则 z=2x−yz = 2x - y 的最小值为（ ）
A.
−1-1
B.
00
C.
11
D.
22

2015 · 湖南 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05数列★★☆☆☆
执行如图所示的程序框图，如果输入 n=3n=3，则输出的 S=S=（ ）
A.
67\frac{6}{7}
B.
37\frac{3}{7}
C.
89\frac{8}{9}
D.
49\frac{4}{9}

2015 · 湖南 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06解析几何★★☆☆☆
若双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 的一条渐近线经过点(3,−4)(3,-4)，则此双曲线的离心率为（ ）
A.
73\frac{\sqrt{7}}{3}
B.
54\frac{5}{4}
C.
43\frac{4}{3}
D.
53\frac{5}{3}

2015 · 湖南 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07不等式★★★☆☆
若实数 aa，bb 满足 1a+2b=ab\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = \sqrt{ab}，则 abab 的最小值为（ ）
A.
2\sqrt{2}
B.
22
C.
222 \sqrt{2}
D.
44

2015 · 湖南 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★☆☆☆
设函数 f(x)=ln⁡(1+x)−ln⁡(1−x)f(x) = \ln (1 + x) - \ln (1 - x)，则 f(x)f(x) 是（ ）
A.
奇函数，且在 (0,1)(0,1) 是增函数
B.
奇函数，且在 (0,1)(0,1) 是减函数
C.
偶函数，且在 (0,1)(0,1) 是增函数
D.
偶函数，且在 (0,1)(0,1) 是减函数

2015 · 湖南 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09平面向量★★★☆☆
已知点 AA，BB，CC 在圆 x2+y2=1x^{2} + y^{2} = 1 上运动，且 AB⊥BCAB \perp BC. 若点 PP 的坐标为 (2,0)(2,0)，则 ∣PA→+PB→+PC→∣\left|\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC}\right| 的最大值为（ ）
A.
66
B.
77
C.
88
D.
99

2015 · 湖南 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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10立体几何初步★★★★☆
某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（ ）（材料的利用率 =新工件的体积原工件的体积=\frac{\text{新工件的体积}}{\text{原工件的体积}}）
A.
89π\frac{8}{9\pi}
B.
827π\frac{8}{27\pi}
C.
24(2−1)3π\frac{24(\sqrt{2} - 1)^3}{\pi}
D.
8(2−1)3π\frac{8(\sqrt{2} - 1)^3}{\pi}

2015 · 湖南 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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11集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 U={1,2,3,4}U = \{1, 2, 3, 4\}，A={1,3}A = \{1, 3\}，B={1,3,4}B = \{1, 3, 4\}，则 A∪∁UB=A \cup \complement_U B =______.

2015 · 湖南 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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12解析几何★☆☆☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，以坐标原点为极点，xx 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 若曲线 CC 的极坐标方程为 ρ=2sin⁡θ\rho = 2\sin \theta，则曲线 CC 的直角坐标方程为______.

2015 · 湖南 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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13解析几何★★☆☆☆
若直线 3x−4y+5=03x - 4y + 5 = 0 与圆 x2+y2=r2x^{2} + y^{2} = r^{2} （r>0r > 0） 相交于 AA，BB 两点，且 ∠AOB=120∘\angle AOB = 120^{\circ} （OO 为坐标原点），则 r=r =______.

2015 · 湖南 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★☆☆☆
若函数 f(x)=∣2x−2∣−bf(x) = |2^x - 2| - b 有两个零点，则实数 bb 的取值范围是______.

2015 · 湖南 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15三角函数★★★★☆
已知 ω>0\omega > 0，在函数 y=2sin⁡ωxy = 2\sin \omega x 与 y=2cos⁡ωxy = 2\cos \omega x 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为 232\sqrt{3}，则 ω=\omega =______.

2015 · 湖南 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16概率与统计★★☆☆☆
某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有 22 个红球 A1A_{1}，A2A_{2} 和 11 个白球 BB 的甲箱与装有 22 个红球 a1a_{1}，a2a_{2} 和 22 个白球 b1b_{1}，b2b_{2} 的乙箱中，各随机摸出 11 个球. 若摸出的 22 个球都是红球则中奖，否则不中奖.
(1) 用球的标号列出所有可能的摸出结果； (2) 有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由.

2015 · 湖南 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
设 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，a=btan⁡Aa = b \tan A.
(1) 证明：sin⁡B=cos⁡A\sin B = \cos A； (2) 若 sin⁡C−sin⁡Acos⁡B=34\sin C - \sin A\cos B = \frac{3}{4}，且 BB 为钝角，求 AA，BB，CC.

2015 · 湖南 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 的底面是边长为 22 的正三角形，EE，FF 分别是 BCBC，CC1CC_{1} 的中点.
(1) 证明：平面 AEF⊥AEF \perp 平面 B1BCC1B_{1}BCC_{1}； (2) 若直线 A1CA_{1}C 与平面 A1ABB1A_{1}ABB_{1} 所成的角为 45∘45^{\circ}，求三棱锥 F-AECF\text{-}AEC 的体积.

2015 · 湖南 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19数列★★★☆☆
设数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}. 已知 a1=1a_1 = 1，a2=2a_2 = 2，且 an+2=3Sn−Sn+1+3a_{n+2} = 3S_{n} - S_{n+1} + 3，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*.
(1) 证明： an+2=3ana_{n+2} = 3a_n； (2) 求 SnS_{n}.

2015 · 湖南 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
已知抛物线 C1:x2=4yC_1: x^2 = 4y 的焦点 FF 也是椭圆 C2:y2a2+x2b2=1C_2: \frac{y^2}{a^2} + \frac{x^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0） 的一个焦点，C1C_1 与 C2C_2 的公弦长为 262\sqrt{6}. 过点 FF 的直线 ll 与 C1C_1 相交于 AA，BB 两点，与 C2C_2 相交于 CC，DD 两点，且 AC→\overrightarrow{AC} 与 BD→\overrightarrow{BD} 同向.
(1) 求 C2C_{2} 的方程； (2) 若 ∣AC∣=∣BD∣\left|AC\right|=\left|BD\right|，求直线 l 的斜率.

2015 · 湖南 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知 a>0a > 0，函数 f(x)=aexcos⁡xf(x) = a\mathrm{e}^{x}\cos x，x∈[0,+∞)x \in [0, +\infty). 记 xnx_n 为 f(x)f(x) 的从小到大的第 nn 个极值点（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*）.
(1) 证明：数列 {f(xn)}\{f(x_{n})\} 是等比数列； (2) 若对一切 n∈N∗n \in \mathbf{N}^*，xn⩽∣f(xn)∣x_n \leqslant |f(x_n)| 恒成立，求 aa 的取值范围.

2015 · 湖南 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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