在数列 $\{a_{n}\}$ 中，$a_{1} = 2$，$a_{n+1} = \lambda a_{n} + \lambda^{n+1} + (2 - \lambda)2^{n}$（$n \in \mathbf{N}^{*}$），其中 $\lambda > 0$.

(1) 求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式. (2) 求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$. (3) 证明存在 $k \in \mathbf{N}^{*}$，使得 $\dfrac{a_{n+1}}{a_n} \leqslant \dfrac{a_{k+1}}{a_k}$ 对任意 $n \in \mathbf{N}^{*}$ 均成立.

设椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的左，右焦点分别为 $F_1$，$F_2$，$A$ 是椭圆上的一点，$AF_2 \perp F_1F_2$，原点 $O$ 到直线 $AF_1$ 的距离为 $\dfrac{1}{3}|OF_1|$.

(1) 证明 $a = \sqrt{2}b$. (2) 设 $Q_{1}$，$Q_{2}$ 为椭圆上的两个动点，$OQ_{1} \perp OQ_{2}$，过原点 $O$ 作直线 $Q_{1}Q_{2}$ 的垂线 $OD$，垂足为 $D$，求点 $D$ 的轨迹方程.