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01复数★☆☆☆☆
i\mathrm{i} 是虚数单位，2i31−i=\dfrac{2\mathrm{i}^3}{1 - \mathrm{i}} =（ ）
A.
1+i1 + \mathrm{i}
B.
−1+i-1 + \mathrm{i}
C.
1−i1 - \mathrm{i}
D.
−1−i-1 - \mathrm{i}

2007 · 天津 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02不等式★★☆☆☆
设变量 xx，yy 满足约束条件
{x−y⩾−1,x+y⩾1,3x−y⩽3\begin{cases} x-y\geqslant -1,\\ x+y\geqslant 1,\\ 3x-y\leqslant 3 \end{cases}
，则目标函数 z=4x+yz = 4x + y 的最大值为（ ）
A.
44
B.
1111
C.
1212
D.
1414

2007 · 天津 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03集合与逻辑基础★★☆☆☆
θ=2π3\theta = \dfrac{2\pi}{3} 是“tan⁡θ=2cos⁡(π2+θ)\tan \theta = 2\cos\left(\dfrac{\pi}{2} + \theta\right)”的（ ）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2007 · 天津 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04解析几何★★☆☆☆
设双曲线 x2a2−y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1（a>0a > 0，b>0b > 0）的离心率为 3\sqrt{3}，且它的一条准线与抛物线 y2=4xy^2 = 4x 的准线重合，则双曲线的方程为（ ）
A.
x212−y224=1\dfrac{x^2}{12} - \dfrac{y^2}{24} = 1
B.
x248−y296=1\dfrac{x^2}{48} - \dfrac{y^2}{96} = 1
C.
x23−2y23=1\dfrac{x^2}{3} - \dfrac{2y^2}{3} = 1
D.
x23−y26=1\dfrac{x^2}{3} - \dfrac{y^2}{6} = 1

2007 · 天津 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05指数函数与对数函数★★☆☆☆
函数 y=log⁡2(x+4+2)y = \log_2\left(\sqrt{x + 4} + 2\right)（x>0x > 0）的反函数是（ ）
A.
y=4x−2x+1y = 4^{x} - 2^{x + 1}（x>2x > 2）
B.
y=4x−2x+1y = 4^{x} - 2^{x + 1}（x>1x > 1）
C.
y=4x−2x+2y = 4^{x} - 2^{x + 2}（x>2x > 2）
D.
y=4x−2x+2y = 4^{x} - 2^{x + 2}（x>1x > 1）

2007 · 天津 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06立体几何初步★★☆☆☆
设 aa，bb 为两条直线，α\alpha，β\beta 为两个平面. 下列四个命题中，正确的命题是（ ）
A.
若 aa，bb 与 α\alpha 所成的角相等，则 a∥ba \parallel b
B.
若 a∥αa \parallel \alpha，b∥βb \parallel \beta，α∥β\alpha \parallel \beta，则 a∥ba \parallel b
C.
若 a⊂αa \subset \alpha，b⊂βb \subset \beta，a∥ba \parallel b，则 α∥β\alpha \parallel \beta
D.
若 a⊥αa \perp \alpha，b⊥βb \perp \beta，α⊥β\alpha \perp \beta，则 a⊥ba \perp b

2007 · 天津 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07函数与初等函数★★★☆☆
在 R\mathbf{R} 上定义的函数 f(x)f(x) 是偶函数，且 f(x)=f(2−x)f(x) = f(2 - x). 若 f(x)f(x) 在区间 [1,2][1, 2] 上是减函数，则 f(x)f(x)（ ）
A.
在区间 [−2,−1][-2, -1] 上是增函数，在区间 [3,4][3, 4] 上是增函数
B.
在区间 [−2,−1][-2, -1] 上是增函数，在区间 [3,4][3, 4] 上是减函数
C.
在区间 [−2,−1][-2, -1] 上是减函数，在区间 [3,4][3, 4] 上是增函数
D.
在区间 [−2,−1][-2, -1] 上是减函数，在区间 [3,4][3, 4] 上是减函数

2007 · 天津 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08数列★★★☆☆
设等差数列 {an}\{a_{n}\} 的公差 dd 不为 0，a1=9da_{1} = 9d. 若 aka_{k} 是 a1a_{1} 与 a2ka_{2k} 的等比中项，则 k=k =（ ）
A.
22
B.
44
C.
66
D.
88

2007 · 天津 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09函数与初等函数★★★★☆
设 aa，bb，cc 均为正数，且 2a=log⁡12a2^{a} = \log_{\frac{1}{2}} a，(12)b=log⁡12b\left(\frac{1}{2}\right)^{b} = \log_{\frac{1}{2}} b，(12)c=log⁡2c\left(\frac{1}{2}\right)^{c} = \log_{2} c. 则（ ）
A.
a<b<ca < b < c
B.
c<b<ac < b < a
C.
c<a<bc < a < b
D.
b<a<cb < a < c

2007 · 天津 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10平面向量★★★★☆
设两个向量 a=(λ+2,λ2−cos⁡2α)\boldsymbol{a} = (\lambda + 2, \lambda^2 - \cos^2 \alpha) 和 b=(m,m2+sin⁡α)\boldsymbol{b} = \left(m, \dfrac{m}{2} + \sin \alpha\right)，其中 λ\lambda，mm，α\alpha 为实数. 若 a=2b\boldsymbol{a} = 2\boldsymbol{b}，则 λm\dfrac{\lambda}{m} 的取值范围是（ ）
A.
[−6,1][-6, 1]
B.
[4,8][4, 8]
C.
(−∞,1](-\infty, 1]
D.
[−1,6][-1, 6]

2007 · 天津 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11计数原理与组合数学★★☆☆☆
若 (x2+1ax)6\left(x^{2} + \dfrac{1}{ax}\right)^{6} 的二项展开式中 x3x^{3} 的系数为 52\dfrac{5}{2}，则 a=a =______.（用数字作答）

2007 · 天津 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12立体几何初步★★☆☆☆
一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为 11，22，33，则此球的表面积为______.

2007 · 天津 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13数列★★☆☆☆
设等差数列 {an}\{a_{n}\} 的公差 dd 是 22，前 nn 项的和为 SnS_{n}，则 lim⁡n→∞an2−n2Sn=\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{a_n^2 - n^2}{S_n} =______.

2007 · 天津 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14解析几何★★☆☆☆
已知两圆 x2+y2=10x^{2} + y^{2} = 10 和 (x−1)2+(y−3)2=20(x - 1)^{2} + (y - 3)^{2} = 20 相交于 AA，BB 两点，则直线 ABAB 的方程是______.

2007 · 天津 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15平面向量★★★☆☆
如图，在 △ABC\triangle ABC 中，∠BAC=120∘\angle BAC = 120^{\circ}，AB=2AC=1AB = 2AC = 1，DD 是边 BCBC 上一点，DC=2BDDC = 2BD，则 AD→⋅BC→=\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BC} =______.

2007 · 天津 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16计数原理与组合数学★★★☆☆
如图，用 66 种不同的颜色给图中的 44 个格子涂色，每个格子涂一种颜色. 要求最多使用 33 种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有______ 种.（用数字作答）

2007 · 天津 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17三角函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=2cos⁡x(sin⁡x−cos⁡x)+1f(x) = 2\cos x (\sin x - \cos x) + 1，x∈Rx \in \mathbf{R}.
(1) 求函数 f(x)f(x) 的最小正周期. (2) 求函数 f(x)f(x) 在区间 [π8,3π4]\left[\dfrac{\pi}{8}, \dfrac{3\pi}{4}\right] 上的最小值和最大值.

2007 · 天津 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
已知甲盒内有大小相同的 11 个红球和 33 个黑球，乙盒内有大小相同的 22 个红球和 44 个黑球. 现从甲，乙两个盒内各任取 22 个球.
(1) 求取出的 44 个球均为黑球的概率. (2) 求取出的 44 个球中恰有 11 个红球的概率. (3) 设 ξ\xi 为取出的 44 个球中红球的个数，求 ξ\xi 的分布列和数学期望.

2007 · 天津 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP - ABCD 中，PA⊥PA \perp 底面 ABCDABCD，AB⊥ADAB \perp AD，AC⊥CDAC \perp CD，∠ABC=60∘\angle ABC = 60^{\circ}，PA=AB=BCPA = AB = BC，EE 是 PCPC 的中点.
(1) 证明 CD⊥AECD \perp AE. (2) 证明 PD⊥PD \perp 平面 ABEABE. (3) 求二面角 A−PD−CA - PD - C 的大小.

2007 · 天津 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=2ax−a2+1x2+1f(x) = \dfrac{2ax - a^2 + 1}{x^2 + 1}（x∈Rx \in \mathbf{R}），其中 a∈Ra \in \mathbf{R}.
(1) 当 a=1a = 1 时，求曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (2,f(2))(2, f(2)) 处的切线方程. (2) 当 a≠0a \neq 0 时，求函数 f(x)f(x) 的单调区间与极值.

2007 · 天津 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21数列★★★★★
在数列 {an}\{a_{n}\} 中，a1=2a_{1} = 2，an+1=λan+λn+1+(2−λ)2na_{n+1} = \lambda a_{n} + \lambda^{n+1} + (2 - \lambda)2^{n}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}），其中 λ>0\lambda > 0.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式. (2) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和 SnS_{n}. (3) 证明存在 k∈N∗k \in \mathbf{N}^{*}，使得 an+1an⩽ak+1ak\dfrac{a_{n+1}}{a_n} \leqslant \dfrac{a_{k+1}}{a_k} 对任意 n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*} 均成立.

2007 · 天津 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
设椭圆 x2a2+y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的左，右焦点分别为 F1F_1，F2F_2，AA 是椭圆上的一点，AF2⊥F1F2AF_2 \perp F_1F_2，原点 OO 到直线 AF1AF_1 的距离为 13∣OF1∣\dfrac{1}{3}|OF_1|.
(1) 证明 a=2ba = \sqrt{2}b. (2) 设 Q1Q_{1}，Q2Q_{2} 为椭圆上的两个动点，OQ1⊥OQ2OQ_{1} \perp OQ_{2}，过原点 OO 作直线 Q1Q2Q_{1}Q_{2} 的垂线 ODOD，垂足为 DD，求点 DD 的轨迹方程.

2007 · 天津 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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