已知 $\theta>0$，对任意 $n\in\mathbb N^*$，总存在实数 $\varphi$，使得 $\cos(n\theta+\varphi)<\dfrac{\sqrt3}{2}$，则 $\theta$ 的最小值是______.

已知函数 $f(x)=|x+a|-a-x$.

(1) 若 $a=1$，求函数定义域； (2) 若 $a\ne0$，且 $f(ax)=a$ 有 $2$ 个不同实数根，求 $a$ 的取值范围； (3) 是否存在实数 $a$，使得函数 $f(x)$ 在定义域内具有单调性？若存在，求出 $a$ 的取值范围.

已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_n\ge0$，对任意 $n\ge2$，$a_n$ 和 $a_{n+1}$ 中存在一项使其为另一项与 $a_{n-1}$ 的等差中项.

(1) 已知 $a_1=5$，$a_2=3$，$a_4=2$，求 $a_3$ 的所有可能取值； (2) 已知 $a_1=a_4=a_7=0$，$a_2$，$a_5$，$a_8$ 为正数，证明：$a_2$，$a_5$，$a_8$ 成等比数列，并求公比 $q$； (3) 已知数列中恰有 $3$ 项为 $0$，即 $a_r=a_s=a_t=0$，$2<r<s<t$，且 $a_1=1$，$a_2=2$，求 $a_{r+1}+a_{s+1}+a_{t+1}$ 的最大值.