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01数列★☆☆☆☆
等差数列 {an}\{a_n\} 中，a1=3a_1=3，d=2d=2，则 a10=‾a_{10}=\underline{\hspace{2em}}.

2021 · 上海 · 春季 · 第 1 题 · 填空题

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02复数★☆☆☆☆
已知复数 z=1−3iz=1-3\mathrm{i}，则 ∣zˉ−i∣=‾|\bar z-\mathrm{i}|=\underline{\hspace{2em}}.

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03不等式★☆☆☆☆
不等式 2x+5x−2<1\dfrac{2x+5}{x-2}<1 的解集为______.

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04立体几何初步★☆☆☆☆
已知圆柱的底面半径为 11，母线长为 22，则其侧面积为______.

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05解析几何★☆☆☆☆
直线 x=−2x=-2 与直线 3x−y+1=0\sqrt3x-y+1=0 的夹角为______.

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06解析几何★★☆☆☆
方程组
{a1x+b1y=c1,a2x+b2y=c2\begin{cases} a_1x+b_1y=c_1,\\ a_2x+b_2y=c_2 \end{cases}
无解，则
∣a1b1a2b2∣=‾\begin{vmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{vmatrix}=\underline{\hspace{2em}}
.

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07计数原理与组合数学★★★☆☆
(x+1)n(x+1)^n 的二项展开式中有且仅有 x3x^3 的系数为最大值，则 x3x^3 的系数为______.

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08导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=3x+a3x+1f(x)=3^x+\dfrac{a}{3^x+1}（a>0a>0） 的最小值为 55，则 a=‾a=\underline{\hspace{2em}}.

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09数列★★★☆☆
在无穷等比数列 {an}\{a_n\} 中，lim⁡n→∞(a1−an)=4\lim\limits_{n\to\infty}(a_1-a_n)=4，则 a2a_2 的取值范围为______.

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10计数原理与组合数学★★☆☆☆
某人某天需要运动总时长大于等于 6060 分钟，现有五项运动可选，时间分别为 3030，2020，4040，3030，3030 分钟，则有______ 种运动组合.

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11解析几何★★★★☆
已知椭圆 x2+y2b2=1x^2+\dfrac{y^2}{b^2}=1（0<b<10<b<1） 的左，右焦点为 F1F_1，F2F_2，以 OO 为顶点，F2F_2 为焦点作抛物线交椭圆于 PP，且 ∠PF1F2=45∘\angle PF_1F_2=45^\circ，则抛物线的准线方程是______.

2021 · 上海 · 春季 · 第 11 题 · 填空题

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12三角函数★★★★★
已知 θ>0\theta>0，对任意 n∈N∗n\in\mathbb N^*，总存在实数 φ\varphi，使得 cos⁡(nθ+φ)<32\cos(n\theta+\varphi)<\dfrac{\sqrt3}{2}，则 θ\theta 的最小值是______.

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13指数函数与对数函数★☆☆☆☆
下列函数中，在定义域内存在反函数的是（ ）.
A.
x2x^2
B.
sin⁡x\sin x
C.
2x2^x
D.
y=1y=1

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14集合与逻辑基础★★☆☆☆
已知集合 A={x∣x2−x−2≥0}A=\{x\mid x^2-x-2\ge0\}，B={x∣x>−1}B=\{x\mid x>-1\}，则（ ）.
A.
A⊆BA\subseteq B
B.
∁RA⊆∁RB\complement_{\mathbb R}A\subseteq\complement_{\mathbb R}B
C.
A∩B=∅A\cap B=\varnothing
D.
A∪B=RA\cup B=\mathbb R

2021 · 上海 · 春季 · 第 14 题 · 选择题

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15函数与初等函数★★★★☆
已知函数 y=f(x)y=f(x) 的定义域为 R\mathbb R，下列是 f(x)f(x) 无最大值的充分条件是（ ）.
A.
f(x)f(x) 为偶函数且关于直线 x=1x=1 对称
B.
f(x)f(x) 为偶函数且关于点 (1,1)(1,1) 对称
C.
f(x)f(x) 为奇函数且关于直线 x=1x=1 对称
D.
f(x)f(x) 为奇函数且关于点 (1,1)(1,1) 对称

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16平面向量★★★★☆
在 △ABC\triangle ABC 中，DD 为 BCBC 中点，EE 为 ADAD 中点. 判断：
① 存在 △ABC\triangle ABC，使得 AB→⋅CE→=0\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CE}=0； ② 存在 △ABC\triangle ABC，使得 CE→∥(CB→+CA→)\overrightarrow{CE}\parallel(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA}).
则（ ）.
A.
\circled1\circled{1} 成立，\circled2\circled{2} 成立
B.
\circled1\circled{1} 成立，\circled2\circled{2} 不成立
C.
\circled1\circled{1} 不成立，\circled2\circled{2} 成立
D.
\circled1\circled{1} 不成立，\circled2\circled{2} 不成立

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17立体几何初步★★★☆☆
四棱锥 P−ABCDP-ABCD，底面为正方形 ABCDABCD，边长为 44，EE 为 ABAB 中点，PE⊥PE\perp 平面 ABCDABCD.
(1) 若 △PAB\triangle PAB 为等边三角形，求四棱锥 P−ABCDP-ABCD 的体积； (2) 若 CDCD 的中点为 FF，PFPF 与平面 ABCDABCD 所成角为 45∘45^\circ，求 PDPD 与 ACAC 所成角的大小.

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18三角函数★★★☆☆
已知 AA，BB，CC 为 △ABC\triangle ABC 的三个内角，aa，bb，cc 是其三条边，a=2a=2，cos⁡C=−14\cos C=-\dfrac14.
(1) 若 sin⁡A=2sin⁡B\sin A=2\sin B，求 bb，cc； (2) 若 cos⁡(A−π4)=45\cos\left(A-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac45，求 cc.

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19解析几何★★★★☆
团队在 OO 点西侧，东侧 2020 千米处设有 AA，BB 两站点，测量一点 PP 满足 ∣PA∣−∣PB∣=20|PA|-|PB|=20 千米. 以 OO 为原点，东侧为 xx 轴正半轴，北侧为 yy 轴正半轴建立平面直角坐标系，PP 在北偏东 60∘60^\circ 处.
(1) 求双曲线标准方程和 PP 点坐标； (2) 又在南侧，北侧 1515 千米处设 CC，DD 两站点，若 ∣QA∣−∣QB∣=30|QA|-|QB|=30 千米，∣QC∣−∣QD∣=10|QC|-|QD|=10 千米，求 ∣OQ∣|OQ| 和 QQ 点位置.

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20不等式★★★★★
已知函数 f(x)=∣x+a∣−a−xf(x)=|x+a|-a-x.
(1) 若 a=1a=1，求函数定义域； (2) 若 a≠0a\ne0，且 f(ax)=af(ax)=a 有 22 个不同实数根，求 aa 的取值范围； (3) 是否存在实数 aa，使得函数 f(x)f(x) 在定义域内具有单调性？若存在，求出 aa 的取值范围.

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21数列★★★★★
已知数列 {an}\{a_n\} 满足 an≥0a_n\ge0，对任意 n≥2n\ge2，ana_n 和 an+1a_{n+1} 中存在一项使其为另一项与 an−1a_{n-1} 的等差中项.
(1) 已知 a1=5a_1=5，a2=3a_2=3，a4=2a_4=2，求 a3a_3 的所有可能取值； (2) 已知 a1=a4=a7=0a_1=a_4=a_7=0，a2a_2，a5a_5，a8a_8 为正数，证明：a2a_2，a5a_5，a8a_8 成等比数列，并求公比 qq； (3) 已知数列中恰有 33 项为 00，即 ar=as=at=0a_r=a_s=a_t=0，2<r<s<t2<r<s<t，且 a1=1a_1=1，a2=2a_2=2，求 ar+1+as+1+at+1a_{r+1}+a_{s+1}+a_{t+1} 的最大值.

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