已知 $\triangle ABP$ 的三个顶点都在抛物线 $C: x^2 = 4y$ 上，$F$ 为抛物线 $C$ 的焦点，点 $M$ 为 $AB$ 的中点，$\overrightarrow{PF} = 3\overrightarrow{FM}$.

(1) 若 $|PF| = 3$，求点 $M$ 的坐标； (2) 求 $\triangle ABP$ 面积的最大值.