正实数数列 $\{a_{n}\}$ 中，$a_{1} = 1$，$a_{2} = 5$，且 $\{a_{n}^{2}\}$ 成等差数列.

(1) 证明：数列 $\{a_{n}\}$ 中有无穷多项为无理数； (2) 当 $n$ 为何值时，$a_{n}$ 为整数，并求出使 $a_{n} < 200$ 的所有整数项的和.