若 $A$，$B$ 是抛物线 $y^{2} = 4x$ 上的不同两点，弦 $AB$（不平行于 $y$ 轴）的垂直平分线与 $x$ 轴相交于点 $P$，则称弦 $AB$ 是点 $P$ 的一条“相关弦”. 已知当 $x > 2$ 时，点 $P(x, 0)$ 存在无穷多条“相关弦”. 给定 $x_0 > 2$.

(1) 证明：点 $P(x_0, 0)$ 的所有“相关弦”的中点的横坐标相同； (2) 试问：点 $P(x_0, 0)$ 的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用 $x_0$ 表示）；若不存在，请说明理由.

已知函数 $f(x) = \ln^2 (1 + x) - \frac{x^2}{1 + x}$.

(1) 求函数 $f(x)$ 的单调区间； (2) 若不等式 $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n + \alpha} \leqslant \mathrm{e}$ 对任意的 $n \in \mathbf{N}^*$ 都成立（其中 $\mathrm{e}$ 是自然对数的底数），求 $\alpha$ 的最大值.