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01复数★☆☆☆☆
复数 (i−1i)3\left(\mathrm{i} - \frac{1}{\mathrm{i}}\right)^3 等于（ ）
A.
88
B.
−8-8
C.
8i8\mathrm{i}
D.
−8i-8\mathrm{i}

2008 · 湖南 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02集合与逻辑基础★★☆☆☆
“∣x−1∣<2\lvert x-1\rvert<2 成立”是“x(x−3)<0x(x-3)<0 成立”的（ ）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2008 · 湖南 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03解析几何★★☆☆☆
已知变量 xx，yy 满足条件
{x⩾1,x−y⩽0,x+2y−9⩽0,\begin{cases} x \geqslant 1,\\ x - y \leqslant 0,\\ x + 2y - 9 \leqslant 0, \end{cases}
则 x+yx + y 的最大值是（ ）
A.
22
B.
55
C.
66
D.
88

2008 · 湖南 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04概率与统计★★☆☆☆
设随机变量 ξ\xi 服从正态分布 N(2,9)N(2,9)，若 P(ξ>c+1)=P(ξ<c−1)P(\xi > c + 1) = P(\xi < c - 1)，则 c=c =（ ）
A.
11
B.
22
C.
33
D.
44

2008 · 湖南 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05立体几何初步★★★☆☆
设有直线 mm，nn 和平面 α\alpha，β\beta. 下列四个命题中，正确的是（ ）
A.
若 m∥α,n∥αm \parallel \alpha, n \parallel \alpha，则 m∥nm \parallel n
B.
若 m⊂αm \subset \alpha，n⊂αn \subset \alpha，m∥βm \parallel \beta，n∥βn \parallel \beta，则 α∥β\alpha \parallel \beta
C.
若 α⊥β\alpha \perp \beta，m⊂αm \subset \alpha，则 m⊥βm \perp \beta
D.
若 α⊥β\alpha \perp \beta，m⊥βm \perp \beta，m⊄αm \not\subset \alpha，则 m∥αm \parallel \alpha

2008 · 湖南 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06三角函数★★★☆☆
函数 f(x)=sin⁡2x+3sin⁡xcos⁡xf(x) = \sin^2 x + \sqrt{3}\sin x\cos x 在区间 [π4,π2]\left[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}\right] 上的最大值是（ ）
A.
11
B.
1+32\frac{1 + \sqrt{3}}{2}
C.
32\frac{3}{2}
D.
1+31 + \sqrt{3}

2008 · 湖南 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07平面向量★★☆☆☆
设 DD，EE，FF 分别是 △ABC\triangle ABC 的三边 BCBC，CACA，ABAB 上的点，且 DC→=2BD→\overrightarrow{DC} = 2\overrightarrow{BD}，CE→=2EA→\overrightarrow{CE} = 2\overrightarrow{EA}，AF→=2FB→\overrightarrow{AF} = 2\overrightarrow{FB}，则 AD→+BE→+CF→\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BE} + \overrightarrow{CF} 与 BC→\overrightarrow{BC}（ ）
A.
反向平行
B.
同向平行
C.
互相垂直
D.
既不平行也不垂直

2008 · 湖南 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08解析几何★★★☆☆
若双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1（a>0a > 0，b>0b > 0）上横坐标为 3a2\frac{3a}{2} 的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A.
(1,2)(1,2)
B.
(2,+∞)(2, +\infty)
C.
(1,5)(1,5)
D.
(5,+∞)(5, +\infty)

2008 · 湖南 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09立体几何初步★★★☆☆
长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 的 88 个顶点在同一球面上，且 AB=2AB = 2，AD=3AD = \sqrt{3}，AA1=1AA_{1} = 1，则顶点 AA，BB 间的球面距离是（ ）
A.
22π2\sqrt{2}\pi
B.
2π\sqrt{2}\pi
C.
2π2\frac{\sqrt{2}\pi}{2}
D.
2π4\frac{\sqrt{2}\pi}{4}

2008 · 湖南 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★★☆☆
设 [x][x] 表示不超过 xx 的最大整数（如 [2]=2[2]=2，[54]=1\left[\frac{5}{4}\right]=1 ）. 对于给定的 n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，定义 Cxn=n(n−1)⋯(n−[x]+1)x(x−1)⋯(x−[x]+1)C_{x}^{n} = \frac{n(n-1)\cdots(n-[x]+1)}{x(x-1)\cdots(x-[x]+1)}， x∈[1,+∞)x \in [1, +\infty)，则当 x∈[32,3)x \in \left[\frac{3}{2}, 3\right) 时，函数 Cx8C_{x}^{8} 的值域是（ ）
A.
[163,28]\left[\frac{16}{3}, 28\right]
B.
[163,56)\left[\frac{16}{3}, 56\right)
C.
(4,283)∪[28,56)\left(4, \frac{28}{3}\right) \cup [28, 56)
D.
(4,163]∪(283,28]\left(4, \frac{16}{3}\right] \cup \left(\frac{28}{3}, 28\right]

2008 · 湖南 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11函数与初等函数★★☆☆☆
lim⁡x→1x−1x2+3x−4=\lim\limits_{x \to 1} \frac{x - 1}{x^{2} + 3x - 4} =______.

2008 · 湖南 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12解析几何★★★☆☆
已知椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的右焦点为 FF，右准线为 ll，离心率 e=55e = \frac{\sqrt{5}}{5}. 过顶点 A(0,b)A(0, b) 作 AM⊥lAM \perp l，垂足为 MM，则直线 FMFM 的斜率等于______.

2008 · 湖南 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13函数与初等函数★★☆☆☆
设函数 y=f(x)y = f(x) 存在反函数 y=f−1(x)y = f^{-1}(x)，且函数 y=x−f(x)y = x - f(x) 的图象过点 (1,2)(1,2). 则函数 y=f−1(x)−xy = f^{-1}(x) - x 的图象一定过点______.

2008 · 湖南 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=3−axa−1f(x) = \frac{\sqrt{3 - ax}}{a - 1}（a≠1a \neq 1）.
(1) 若 a>1a > 1，则 f(x)f(x) 的定义域是______； (2) 若 f(x)f(x) 在区间 (0,1](0,1] 上是减函数，则实数 aa 的取值范围是______.

2008 · 湖南 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15概率与统计★★★★☆
对有 nn（n⩾4n \geqslant 4）个元素的总体 {1,2,3,⋯ ,n}\{1, 2, 3, \cdots, n\} 进行抽样. 先将总体分成两个子总体 {1,2,⋯ ,m}\{1, 2, \cdots, m\} 和 {m+1,m+2,⋯ ,n}\{m + 1, m + 2, \cdots, n\}（mm 是给定的正整数，且 2⩽m⩽n−22 \leqslant m \leqslant n - 2）. 再从每个子总体中各随机抽取 22 个元素组成样本，用 PijP_{ij} 表示元素 ii 和 jj 同时出现在样本中的概率，则 P1n=‾P_{1n} =\underline{\hspace{2em}}；所有 PijP_{ij}（1⩽i<j⩽n1 \leqslant i < j \leqslant n）的和等于______.

2008 · 湖南 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16概率与统计★★★☆☆
甲，乙，丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约. 甲表示只要面试合格就签约. 乙，丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约. 设每人面试合格的概率都是 12\frac{1}{2}，且面试是否合格互不影响. 求：
(1) 至少有 11 人面试合格的概率； (2) 签约人数 ξ\xi 的分布列和数学期望.

2008 · 湖南 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图所示，四棱锥 P−ABCDP - ABCD 的底面 ABCDABCD 是边长为 11 的菱形，∠BCD=60∘\angle BCD = 60^{\circ}，EE 是 CDCD 的中点，PA⊥PA \perp 底面 ABCDABCD，PA=2PA = 2.
(1) 证明：平面 PBEPBE ⊥\perp 平面 PABPAB； (2) 求平面 PADPAD 和平面 PBEPBE 所成二面角（锐角）的大小.

2008 · 湖南 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18数列★★★★☆
数列 {an}\{a_{n}\} 满足 a1=1a_{1}=1，a2=2a_{2}=2，an+2=(1+cos⁡2nπ2)an+sin⁡2nπ2a_{n+2}=\left(1+\cos^{2}\frac{n\pi}{2}\right)a_{n}+\sin^{2}\frac{n\pi}{2}，n=1n=1，22，33，⋯\cdots.
(1) 求 a3a_{3}，a4a_{4} 并求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 设 bn=a2n−1a2nb_{n} = \frac{a_{2n - 1}}{a_{2n}}，Sn=b1+b2+⋯+bnS_{n} = b_{1} + b_{2} + \dots + b_{n}. 证明：当 n⩾6n \geqslant 6 时，∣Sn−2∣<1n|S_{n} - 2| < \frac{1}{n}.

2008 · 湖南 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19三角函数★★★★☆
在一个特定时段内，以点 EE 为中心的 7 海里7\text{ 海里} 以内海域被设为警戒水域. 点 EE 正北 55 海里55\text{ 海里} 处有一个雷达观测站 AA. 某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 AA 北偏东 45∘45^{\circ} 且与点 AA 相距 402 海里40\sqrt{2}\text{ 海里} 的位置 BB，经过 40 分钟40\text{ 分钟} 又测得该船已行驶到点 AA 北偏东 45∘+θ45^{\circ} + \theta（其中 sin⁡θ=2626\sin \theta = \frac{\sqrt{26}}{26}，0∘<θ<90∘0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}）且与点 AA 相距 1013 海里10\sqrt{13}\text{ 海里} 的位置 CC.
(1) 求该船的行驶速度（单位：海里/小时）； (2) 若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.

2008 · 湖南 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★★
若 AA，BB 是抛物线 y2=4xy^{2} = 4x 上的不同两点，弦 ABAB（不平行于 yy 轴）的垂直平分线与 xx 轴相交于点 PP，则称弦 ABAB 是点 PP 的一条“相关弦”. 已知当 x>2x > 2 时，点 P(x,0)P(x, 0) 存在无穷多条“相关弦”. 给定 x0>2x_0 > 2.
(1) 证明：点 P(x0,0)P(x_0, 0) 的所有“相关弦”的中点的横坐标相同； (2) 试问：点 P(x0,0)P(x_0, 0) 的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用 x0x_0 表示）；若不存在，请说明理由.

2008 · 湖南 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡2(1+x)−x21+xf(x) = \ln^2 (1 + x) - \frac{x^2}{1 + x}.
(1) 求函数 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 若不等式 (1+1n)n+α⩽e\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n + \alpha} \leqslant \mathrm{e} 对任意的 n∈N∗n \in \mathbf{N}^* 都成立（其中 e\mathrm{e} 是自然对数的底数），求 α\alpha 的最大值.

2008 · 湖南 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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