设函数 $f(x) = x - \ln (x + m)$，其中常数 $m$ 为整数.

(1) 当 $m$ 为何值时，$f(x) \geqslant 0$； (2) 定理：若函数 $g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $g(a)$ 与 $g(b)$ 异号，则至少存在一点 $x_0 \in (a, b)$，使 $g(x_0) = 0$. 试用上述定理证明：当整数 $m > 1$ 时，方程 $f(x) = 0$ 在 $[\mathrm{e}^{-m} - m, \mathrm{e}^{2m} - m]$ 内有两个实根.

设直线 $l$ 与椭圆 $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ 相交于 $A$，$B$ 两点，$l$ 又与双曲线 $x^{2} - y^{2} = 1$ 相交于 $C$，$D$ 两点，$C$，$D$ 三等分线段 $AB$. 求直线 $l$ 的方程.