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01平面向量★☆☆☆☆
已知平面向量 a=(3,1)\boldsymbol{a} = (3, 1)，b=(x,−3)\boldsymbol{b} = (x, -3)，且 a⊥b\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}，则 x=x =（ ）
A.
−3-3
B.
−1-1
C.
11
D.
33

2004 · 广东 · 第 1 题 · 选择题

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02集合与逻辑基础★★☆☆☆
已知 A={x∣∣2x+1∣>3}A = \{x \mid |2x + 1| > 3\}，B={x∣x2+x⩽6}B = \{x \mid x^2 + x \leqslant 6\}，则 A∩B=A \cap B =（ ）
A.
[−3,−2)∪(1,2][-3, -2) \cup (1, 2]
B.
[−3,−2)∪(1,+∞)[-3, -2) \cup (1, +\infty)
C.
(−3,−2]∪[1,2)(-3, -2] \cup [1, 2)
D.
(−∞,−3]∪(1,2](-\infty, -3] \cup (1, 2]

2004 · 广东 · 第 2 题 · 选择题

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03函数与初等函数★★☆☆☆
设函数
f(x)={3x+2x2−4−2x−2,x>2,a,x⩽2,f(x) = \begin{cases} \frac{3x + 2}{x^2 - 4} - \frac{2}{x - 2}, & x > 2,\\ a, & x \leqslant 2, \end{cases}
在 x=2x = 2 处连续，则 a=a =（ ）
A.
−12-\frac{1}{2}
B.
−14-\frac{1}{4}
C.
14\frac{1}{4}
D.
13\frac{1}{3}

2004 · 广东 · 第 3 题 · 选择题

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04数列★★☆☆☆
lim⁡n→∞(1n+1−2n+1+3n+1−⋯+2n−1n+1−2nn+1)\displaystyle\lim_{n\to \infty}\left(\frac{1}{n + 1} -\frac{2}{n + 1} +\frac{3}{n + 1} -\dots +\frac{2n - 1}{n + 1} -\frac{2n}{n + 1}\right) 的值为（ ）
A.
−1-1
B.
00
C.
12\frac{1}{2}
D.
11

2004 · 广东 · 第 4 题 · 选择题

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05三角函数★★☆☆☆
函数 f(x)=sin⁡2(x+π4)−sin⁡2(x−π4)f(x) = \sin^2\left(x + \frac{\pi}{4}\right) - \sin^2\left(x - \frac{\pi}{4}\right) 是（ ）
A.
周期为 π\pi 的偶函数
B.
周期为 π\pi 的奇函数
C.
周期为 2π2\pi 的偶函数
D.
周期为 2π2\pi 的奇函数

2004 · 广东 · 第 5 题 · 选择题

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06概率与统计★★☆☆☆
一台 XX 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为 0.80000.8000，有四台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多 22 台机床需要工人照看的概率是（ ）
A.
0.15360.1536
B.
0.18080.1808
C.
0.56320.5632
D.
0.97280.9728

2004 · 广东 · 第 6 题 · 选择题

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07立体几何初步★★☆☆☆
在棱长为 11 的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去 88 个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是（ ）
A.
23\frac{2}{3}
B.
76\frac{7}{6}
C.
45\frac{4}{5}
D.
56\frac{5}{6}

2004 · 广东 · 第 7 题 · 选择题

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08解析几何★★★☆☆
若双曲线 2x2−y2=k2x^{2} - y^{2} = k（k>0k > 0）的焦点到它相对应的准线的距离是 22，则 k=k =（ ）
A.
66
B.
88
C.
11
D.
44

2004 · 广东 · 第 8 题 · 选择题

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09三角函数★★★☆☆
当 0<x<π40 < x < \frac{\pi}{4} 时，函数 f(x)=cos⁡2xcos⁡x⋅sin⁡x−sin⁡2xf(x) = \frac{\cos^2 x}{\cos x \cdot \sin x - \sin^2 x} 的最小值是（ ）
A.
44
B.
12\frac{1}{2}
C.
22
D.
14\frac{1}{4}

2004 · 广东 · 第 9 题 · 选择题

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10不等式★★★☆☆
变量 xx，yy 满足下列条件：
{2x+y⩾12,2x+9y⩾36,2x+3y=24,x⩾0, y⩾0,\begin{cases} 2x + y \geqslant 12,\\ 2x + 9y \geqslant 36,\\ 2x + 3y = 24,\\ x \geqslant 0,\ y \geqslant 0, \end{cases}
则使 z=3x+2yz = 3x + 2y 的值最小的 (x,y)(x, y) 是（ ）
A.
(4.5,3)(4.5,3)
B.
(3,6)(3,6)
C.
(9,2)(9,2)
D.
(6,4)(6,4)

2004 · 广东 · 第 10 题 · 选择题

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11三角函数★★☆☆☆
若 f(x)=tan⁡(x+π4)f(x) = \tan \left(x + \frac{\pi}{4}\right)，则（ ）
A.
f(−1)>f(0)>f(1)f(-1) > f(0) > f(1)
B.
f(0)>f(1)>f(−1)f(0) > f(1) > f(-1)
C.
f(1)>f(0)>f(−1)f(1) > f(0) > f(-1)
D.
f(0)>f(−1)>f(1)f(0) > f(-1) > f(1)

2004 · 广东 · 第 11 题 · 选择题

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12解析几何★★★☆☆
如图，定圆半径为 aa，圆心为 (b,c)(b, c)，则直线 ax+by+c=0ax + by + c = 0 与直线 x−y+1=0x - y + 1 = 0 的交点在（ ）
A.
第四象限
B.
第三象限
C.
第二象限
D.
第一象限

2004 · 广东 · 第 12 题 · 选择题

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13概率与统计★★☆☆☆
某班委会由 44 名男生与 33 名女生组成，现从中选出 22 人担任正副班长，其中至少有 11 名女生当选的概率是______.（用分数作答）

2004 · 广东 · 第 13 题 · 填空题

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14复数★★☆☆☆
已知复数 zz 与 (z+2)2−8i(z + 2)^{2} - 8\mathrm{i} 均是纯虚数，则 z=z =______.

2004 · 广东 · 第 14 题 · 填空题

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15立体几何初步★★☆☆☆
由图1有面积关系：S△P′A′B′S△PAB=PA′⋅PB′PA⋅PB\frac{S_{\triangle P'A'B'}}{S_{\triangle PAB}} = \frac{PA' \cdot PB'}{PA \cdot PB}，则由图2有体积关系：VP−A′B′C′VP−ABC=\frac{V_{P-A'B'C'}}{V_{P-ABC}} =______.

2004 · 广东 · 第 15 题 · 填空题

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16函数与初等函数★★☆☆☆
函数 f(x)=ln⁡(x+1−1)f(x) = \ln (\sqrt{x + 1} - 1)（x>0x > 0）的反函数 f−1(x)=f^{-1}(x) =______.

2004 · 广东 · 第 16 题 · 填空题

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17数列★★★☆☆
已知 α\alpha，β\beta，γ\gamma 成公比为 22 的等比数列（α∈[0,2π]\alpha \in [0, 2\pi]），且 sin⁡α\sin \alpha，sin⁡β\sin \beta，sin⁡γ\sin \gamma 也成等比数列. 求 α\alpha，β\beta，γ\gamma 的值.

2004 · 广东 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，在长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，已知 AB=4AB = 4，AD=3AD = 3，AA1=2AA_{1} = 2. EE，FF 分别是线段 ABAB，BCBC 上的点，且 EB=FB=1EB = FB = 1.
(1) 求二面角 C−DE−C1C - DE - C_1 的正切值； (2) 求直线 EC1EC_1 与 FD1FD_1 所成的余弦值.

2004 · 广东 · 第 18 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=∣1−1x∣f(x) = \left|1 - \frac{1}{x}\right|（x>0x > 0）.
(1) 证明：当 0<a<b0 < a < b，且 f(a)=f(b)f(a) = f(b) 时，ab>1ab > 1； (2) 点 P(x0,y0)P(x_0, y_0)（0<x0<10 < x_0 < 1）在曲线 y=f(x)y = f(x) 上，求曲线在点 PP 处的切线与 xx 轴和 yy 轴的正向所围成的三角形面积表达式（用 x0x_0 表示）.

2004 · 广东 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
某中心接到其正东，正西，正北方向三个观测点的报告：正西，正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚 4 s4\mathrm{~s}. 已知各观测点到该中心的距离都是 1020 m1020\mathrm{~m}. 试确定该巨响发生的位置. （假定当时声音传播的速度为 340 m/s340\mathrm{~m/s}，相关各点均在同一平面上）

2004 · 广东 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=x−ln⁡(x+m)f(x) = x - \ln (x + m)，其中常数 mm 为整数.
(1) 当 mm 为何值时，f(x)⩾0f(x) \geqslant 0； (2) 定理：若函数 g(x)g(x) 在 [a,b][a, b] 上连续，且 g(a)g(a) 与 g(b)g(b) 异号，则至少存在一点 x0∈(a,b)x_0 \in (a, b)，使 g(x0)=0g(x_0) = 0. 试用上述定理证明：当整数 m>1m > 1 时，方程 f(x)=0f(x) = 0 在 [e−m−m,e2m−m][\mathrm{e}^{-m} - m, \mathrm{e}^{2m} - m] 内有两个实根.

2004 · 广东 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
设直线 ll 与椭圆 x225+y216=1\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1 相交于 AA，BB 两点，ll 又与双曲线 x2−y2=1x^{2} - y^{2} = 1 相交于 CC，DD 两点，CC，DD 三等分线段 ABAB. 求直线 ll 的方程.

2004 · 广东 · 第 22 题 · 解答题

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